Рассмотрим уравнение системы относительно модулей. Выделим область определения по знаку выражений под модулем (\(x^2 - 1\) и \(y^2 - 1\)). Возможны 4 случая для раскрытия модулей:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]1) Случай 1:[/BOLD] \(x^2 - 1 \ge 0\) и \(y^2 - 1 \ge 0\)[NEWLINE] (Это соответствует областям \(|x| \ge 1\) и \(|y| \ge 1\))[NEWLINE] В этих областях убираем модули со знаком плюс:[NEWLINE] $ \begin{cases} (x^2 - 1) + 2x - x^2 = (y^2 - 1) + 2y - y^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \\ y^2 - 1 \ge 0 \end{cases} $[NEWLINE] Упрощаем:[NEWLINE] \[ 2x - 1 = 2y - 1 \][NEWLINE] Отсюда получаем прямую:[NEWLINE] \[ y = x \][NEWLINE] С учетом ОДЗ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)\) и \(y \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)\).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]2) Случай 2:[/BOLD] \(x^2 - 1 < 0\) и \(y^2 - 1 \ge 0\)[NEWLINE] (Это соответствует областям \(|x| < 1\) и \(|y| \ge 1\))[NEWLINE] Модуль по \(x\) раскрываем со знаком минус:[NEWLINE] \[ \begin{cases} -(x^2 - 1) + 2x - x^2 = y^2 - 1 + 2y - y^2 \\ x^2 - 1 < 0 \\ y^2 - 1 \ge 0 \end{cases} \][NEWLINE] \[ -2x^2 + 2x + 1 = 2y - 1 \][NEWLINE] \[ 2y = -2x^2 + 2x + 2 \quad \Rightarrow \quad y = -x^2 + x + 1 \][NEWLINE] Находим вершину параболы \(x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\). Значение \(y_0 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4}\). Так как \(|x| < 1\), берем дугу параболы на этом отрезке.\(\)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]3) Случай 3:[/BOLD] \(x^2 - 1 < 0\) и \(y^2 - 1 < 0\)[NEWLINE] (Это соответствует областям \(|x| < 1\) и \(|y| < 1\))[NEWLINE] Оба модуля раскрываются со знаком минус:[NEWLINE] \[ \begin{cases} -(x^2 - 1) + 2x - x^2 = -(y^2 - 1) + 2y - y^2 \\ x^2 - 1 < 0 \\ y^2 - 1 < 0 \end{cases} \][NEWLINE] \[ -2x^2 + 2x = -2y^2 + 2y \][NEWLINE] \[ x^2 - x - y^2 + y = 0 \][NEWLINE] \[ (x^2 - y^2) - (x - y) = 0 \][NEWLINE] \[ (x - y)(x + y) - (x - y) = 0 \][NEWLINE] \[ (x - y)(x + y - 1) = 0 \][NEWLINE] Получаем совокупность двух прямых внутри квадрата \(|x|<1, |y|<1\):[NEWLINE] \[ \begin{cases} y = x \\ x \in (-1; 1) \\ y \in (-1; 1) \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y = -x + 1 \\ x \in (-1; 1) \\ y \in (-1; 1) \end{cases} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]4) Случай 4:[/BOLD] \(x^2 - 1 \ge 0\) и \(y^2 - 1 < 0\)[NEWLINE] (Это соответствует областям \(|x| \ge 1\) и \(|y| < 1\))[NEWLINE] Модуль по \(y\) раскрывается со знаком минус:[NEWLINE] \[ \begin{cases} (x^2 - 1) + 2x - x^2 = -(y^2 - 1) + 2y - y^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \\ y^2 - 1 < 0 \end{cases} \][NEWLINE] \[ 2x - 1 = -2y^2 + 2y + 1 \][NEWLINE] \[ 2x = -2y^2 + 2y + 2 \][NEWLINE] \[ x = -y^2 + y + 1 \][NEWLINE] Вершина параболы находится по оси \(y\): \(y_0 = \frac{1}{2}\), тогда \(x_0 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4}\). Возьмем часть параболы, лежащую внутри полосы \(|y| < 1\).\(\)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Графический анализ:[/BOLD] Построим полученную геометрическую фигуру (совокупность линий на координатной плоскости) и будем рассматривать прямые \(x + y = a\), которые являются семейством параллельных прямых с наклоном \(-1\). Требуется найти такие \(a\), при которых пересечений больше двух.[NEWLINE] [image:0:right] $I.$ При $a=1$ график $y=-x+a$ совпадает с $y=-x+1$ из третьего случая — бесконечное множество решений.[IMAGENEWLINE] $I-II.$ При $a\in [1;2)$ — три решения.[IMAGENEWLINE] $II.$ При $a\in[2;+\infty)$ — одно решение[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Значит $a\in[1;2).$ [IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in[1;2).$