Первое уравнение системы состоит из произведения множителей. Следовательно, решение системы удовлетворяет хотя бы одному из равенств, являющихся множителями:[NEWLINE] 1. \(x^2 + y^2 + 6x = 0\) (уравнение окружности);[NEWLINE] 2. \(\sqrt{y + x + 6} = 0 \implies y + x + 6 = 0\) (прямая при условии существования корня).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Так как второе уравнение содержит подкоренное выражение, область определения накладывает условие \(y + x + 6 \geq 0\). Однако в силу второго множителя \(\sqrt{y + x + 6} = 0\), нам достаточно рассмотреть именно случай \(y + x + 6 = 0\). Таким образом, график первой системы — это объединение окружности и прямой отрезка.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]1. Анализ окружности[/BOLD] \(x^2 + y^2 + 6x = 0:\)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты: $(x^2 + 6x + 9) + y^2 = 9 $[NEWLINE] $(x + 3)^2 + y^2 = 3^2 $[NEWLINE] Это уравнение окружности с центром \(O(-3; 0)\) и радиусом \(R = 3\).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]2. Анализ прямой[/BOLD] \(\sqrt{y + x + 6} = 0\)[NEWLINE] Корень равен нулю при:[NEWLINE] $ y = -x - 6 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем точки пересечения этой прямой и окружности:[NEWLINE] $ \begin{cases} (x + 3)^2 + y^2 = 9 \\ y = -x - 6 \end{cases} $[NEWLINE] Подставим \(y\) в уравнение окружности:[NEWLINE] $(x + 3)^2 + (-x - 6)^2 = 9 $[NEWLINE] $ (x + 3)^2 + (x + 6)^2 = 9 $[NEWLINE] $ x^2 + 6x + 9 + x^2 + 12x + 36 = 9 $[NEWLINE] $ 2x^2 + 18x + 36 = 0 \quad |:2 $[NEWLINE] $ x^2 + 9x + 18 = 0 $[NEWLINE] Решив квадратное уравнение (по теореме Виета или через дискриминант), найдем корни:[NEWLINE] $ \begin{cases} x_1 = -6 \\ x_2 = -3 \end{cases} $[NEWLINE] [image:0:right]Соответствующие ординаты: \(y_1 = 0\), \(y_2 = -3\).[IMAGENEWLINE] Точки пересечения окружности и прямой: \(A(-6; 0)\) и \(B(-3; -3)\).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]3. Анализ семейства прямых[/BOLD] \(y = x + a\)[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Прямая \(y = x + a\) пересекает полученную фигуру в следующих случаях:[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Случай 1:[/BOLD] Прямая касается окружности.[IMAGENEWLINE] Если прямая касается окружности, то она дает 1 точку пересечения с окружностью., но вторая точка будет находиться на прямой \(y = -x - 6\) (так как они обязательно пересекаются в одной точке, если не параллельны, а угловые коэффициенты разные). Итого 2 точки, потому что два этих графика получились как из произведения, равного нулю.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Подставим \(y = x + a\) в уравнение окружности:[IMAGENEWLINE] $ (x + 3)^2 + (x + a)^2 = 9 $[IMAGENEWLINE] $ x^2 + 6x + 9 + x^2 + 2ax + a^2 = 9 $[IMAGENEWLINE] $ 2x^2 + (6 + 2a)x + a^2 = 0 $[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Для касания дискриминант должен быть равен нулю:[IMAGENEWLINE] $ D = (6 + 2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a^2 = 0 $[IMAGENEWLINE] $ 36 + 24a + 4a^2 - 8a^2 = 0 $[IMAGENEWLINE] $ -4a^2 + 24a + 36 = 0 \quad |:(-4) $[IMAGENEWLINE] $ a^2 - 6a - 9 = 0 $[IMAGENEWLINE] [image:1:right] Найдем корни этого квадратного уравнения:[IMAGENEWLINE] $ D_a = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72 $[IMAGENEWLINE] $ a_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2} $[IMAGENEWLINE] Значит при $a= 3 \pm 3\sqrt{2} $ прямая $y=x+a$ касается окружности и пересекает прямую $y=-x-6.$ Итого, как и было ранее сказано, получаем две точки в решении (синие прямые на рисунке).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Случай 2:[/BOLD] Прямая проходит через точки пересечения окружности и линии \(y = -x - 6\)[IMAGENEWLINE] В этих случаях одна из точек пересечения окружности совпадает с точкой пересечения прямой \(y = x + a\) и линии \(y = -x - 6\). Это сокращает количество общих точек до двух (одна точка "сливается", но остается общей для всей системы, вторая остается обычной точкой пересечения окружности).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Точки \(A(-6; 0)\) и \(B(-3; -3)\) уже найдены. Подставим их координаты в уравнение прямой \(y = x + a\) для нахождения \(a\).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Для точки \(A(-6; 0)\):[IMAGENEWLINE] $ 0 = -6 + a \implies a = 6 $[IMAGENEWLINE] Для точки \(B(-3; -3)\):[IMAGENEWLINE] $ -3 = -3 + a \implies a = 0 $[IMAGENEWLINE] При таких \(a\) прямая \(y = x + a\) проходит через эти общие точки, обеспечивая ровно два решения системы (чёрные прямые на рисунке).[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in[0;6] \cup \{3\pm\sqrt2\}.$