[image:0:right]а) Так как $AMKN$ — равнобедренная трапеция, то $AN||KM.$ Проведём прямую $A_1F,$ параллельную этим двум прямым, в плоскости $A_1B_1C_1D_1.$ [IMAGENEWLINE] Провели так, что $A_1F=AN=4.$ [IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Рассмотрим верхнюю плоскость $A_1B_1C_1D_1:$[IMAGENEWLINE] Так как $A_1F||KM,$ то, по теореме о пропорциональных отрезках, делаем вывод о том, что $\triangle B_1KM \sim B_1FA_1.$ Запишем отношение сторон: $\frac{KM}{A_1F}=\frac{B_1M}{B_1A_1}=\frac{B_1K}{B_1F}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$[IMAGENEWLINE] Из этого следует, что $A_1M=B_1M \rightarrow M$ — середина $A_1B_1,$ что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [image:1:right] б) Объём призмы можно найти по формуле $V=S_{осн}\cdot h,$ где $S_{осн}=S_{ABCD}=AB\cdot BC\sin\alpha, \quad h=BB_1.$ [IMAGENEWLINE] Откуда $BB_1=\frac{V}{S_{ABCD}\cdot h}.$ [IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Так как прямая $FA_1$ получилась параллельным переносом, то она лежит строго над $AN.$ Тогда $FN\perp BC \rightarrow FN=AA_1.$[IMAGENEWLINE] Так как $AMKN$ — равнобедренная трапеция, то $AM=NK.$[IMAGENEWLINE] Из этих двух фактов следует, что $\triangle FNK=\triangle AA_1M$ по катету и гипотенузе. Из этого следует, что $FK=A_1M.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Зная, что $B_1K:C_1K=1:3, $ а также, что $B_1K=KF$ (см. п. а), пусть $B_1K=B_1M=x.$ Тогда $B_1C_1=4x, \quad B_1A_1=2x.$ Тогда, по теореме косинусов, найдем $x:$[IMAGENEWLINE] $2^2=x^2+x^2-2x\cdot x\cos120^\circ$[IMAGENEWLINE] $4=2x^2+2x^2\cdot\frac{1}{2}$[IMAGENEWLINE] $3x^2=4$[IMAGENEWLINE] $x=\frac{2\sqrt3}{3}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Значит: [IMAGENEWLINE] $A_1B_1=AB=\frac{4\sqrt3}{3},$[IMAGENEWLINE] $C_1B_1=BC=\frac{8\sqrt3}{3}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда $BB_1=\frac{16}{\frac{4\sqrt3}{3}\cdot\frac{8\sqrt3}{3}\cdot\frac{3}{2}}=\sqrt3.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $\sqrt3$