Дана пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD. Сечение пирамиды — четырехугольник KLMN, причем точки K, L, M, N лежат на ребрах SB, SA, SD и SC соответственно. Известно, что L и M — середины ребер SA и SD, а SK:KB=3:1.[NEWLINE]
а) Докажите, что KLMN — трапеция и основания трапеции относятся как 2:3.[NEWLINE]
б) Известно, что угол между плоскостью трапеции KLMN и плоскостью основания ABCD равен 30°. Найдите высоту пирамиды SABCD, если площадь квадрата ABCD равна 32, а площадь четырехугольника KLMN равна $10\sqrt{2}.$
[image:0:right]а) $LM$ — средняя линия $\triangle SAD,$ так как $L$ и $M$ — середины по условию. Значит $LM || AD.$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
Продолжим плоскость $\alpha$ до пересечения с плоскостью основания. Далее, рассмотрим два случая трёх попарно пересекающихся плоскостей:[IMAGENEWLINE]
1) $\alpha\cap(SAD),$ $\alpha\cap(ABCD),$ $(ABCD)\cap(SAD)=AD.$[IMAGENEWLINE]
Так как $LM||AD,$ то по теореме о трех попарно пересекающихся плоскостях: $AD||EF||LM\rightarrow$ Так как $AD||BC$ ($ABCD$ — квадрат), то $ BC||EF.$[IMAGENEWLINE]
2) $\alpha \cap(ABCD)=EF,$ $\alpha\cap (SBC)=KN,$ $(SBC)\cap(ABCD)=BC.$[IMAGENEWLINE]
Объединяя два случая, делаем вывод о том, что $BC||KN,$ $BC||AD,$ $AD||LM\rightarrow KN||LM.$ Следовательно $KLMN$ — трапеция.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE]
Так как $SK||KB=3:1$ и $KN||BC,$ то $SK:SB=3:4\rightarrow KN:BC=3:4.$[IMAGENEWLINE]
Так как $AD=BC=\frac{1}{2}LM,$ то $\frac{1}{2}LM:KN=4:3\rightarrow LM:KN=2:3,$ что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE]
б) [image:1:right] Заметим, что в задаче не указан вид пирамиды. Тогда пусть $SO$ — произвольная высота пирамиды. Проведём еще дополнительные построения: $QP\perp(ABCD)$ и $MR||DC\rightarrow\angle QGP=30^\circ.$[IMAGENEWLINE]
Заметим, что точки $Q$ и $R$ равноудалены от плоскости основания, а также, по теореме о пропорциональных отрезках, они будут равны половине высоты пирамиды (так как находятся на серединах боковых рёбер и $QP\perp(ABCD)$). То есть $QP=\frac{1}{2}SO.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE]
Еще заметим, что $RN=NC.$ Значит точка $N$ удалена от плоскости основания на $\frac{1}{4}SO.$ Проведём $HT\perp QP.$ Заметим, что $QT=TP$ по теореме о пропорциональных отрезках и она равна $\frac{1}{4}SO.$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
$\angle QHT=\angle QGP=30^\circ$ как соответственные углы при $TH||PG$ и $QG$ — секущей. Тогда $QT=\frac{1}{2}QH,$ где $QH$ — высота трапеции $KLMN.$ Тогда $SO=4QT.$ Для нахождения $QT$ необходимо найти $QH:$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE]
1) $S_{ABCD}=a^2=32\rightarrow a=4\sqrt2$[IMAGENEWLINE]
2) $S_{KLMN}=\frac{LM+KN}{2}\cdot QH,$ где $LM=\frac{1}{2}a=2\sqrt2\rightarrow KN=3\sqrt2.$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
$10\sqrt2=\frac{2\sqrt2+3\sqrt2}{2}\cdot QH\rightarrow QH=4.$[IMAGENEWLINE]
Значит $QT=\frac{1}{2}QH=2\rightarrow SO=4\cdot2=8.$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] 8
Дана пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD. Сечение пирамиды — четырехугольник KLMN, причем точки K, L, M, N лежат на ребрах SB, SA, SD и SC соответственно. Известно, что L и M — середины ребер SA и SD, а SK:KB=3:1.
а) Докажите, что KLMN — трапеция и основания трапеции относятся как 2:3.
б) Известно, что угол между плоскостью трапеции KLMN и плоскостью основания ABCD равен 30°. Найдите высоту пирамиды SABCD, если площадь квадрата ABCD равна 32, а площадь четырехугольника KLMN равна
а) Докажите, что KLMN — трапеция и основания трапеции относятся как 2:3.
б) Известно, что угол между плоскостью трапеции KLMN и плоскостью основания ABCD равен 30°. Найдите высоту пирамиды SABCD, если площадь квадрата ABCD равна 32, а площадь четырехугольника KLMN равна
Решение:
а) — средняя линия так как и — середины по условию. Значит
Продолжим плоскость до пересечения с плоскостью основания. Далее, рассмотрим два случая трёх попарно пересекающихся плоскостей:
1)
Так как то по теореме о трех попарно пересекающихся плоскостях: Так как ( — квадрат), то
2)
Объединяя два случая, делаем вывод о том, что Следовательно — трапеция.
Так как и то
Так как то что и требовалось доказать.
б)
Продолжим плоскость до пересечения с плоскостью основания. Далее, рассмотрим два случая трёх попарно пересекающихся плоскостей:
1)
Так как то по теореме о трех попарно пересекающихся плоскостях: Так как ( — квадрат), то
2)
Объединяя два случая, делаем вывод о том, что Следовательно — трапеция.
Так как и то
Так как то что и требовалось доказать.
б)
Заметим, что в задаче не указан вид пирамиды. Тогда пусть — произвольная высота пирамиды. Проведём еще дополнительные построения: и
Заметим, что точки и равноудалены от плоскости основания, а также, по теореме о пропорциональных отрезках, они будут равны половине высоты пирамиды (так как находятся на серединах боковых рёбер и ). То есть
Еще заметим, что Значит точка удалена от плоскости основания на Проведём Заметим, что по теореме о пропорциональных отрезках и она равна
как соответственные углы при и — секущей. Тогда где — высота трапеции Тогда Для нахождения необходимо найти
1)
2) где
Значит
Ответ: 8
Заметим, что точки и равноудалены от плоскости основания, а также, по теореме о пропорциональных отрезках, они будут равны половине высоты пирамиды (так как находятся на серединах боковых рёбер и ). То есть
Еще заметим, что Значит точка удалена от плоскости основания на Проведём Заметим, что по теореме о пропорциональных отрезках и она равна
как соответственные углы при и — секущей. Тогда где — высота трапеции Тогда Для нахождения необходимо найти
1)
2) где
Значит
Ответ: 8
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день