Найдите точку максимума функции $y = \log_2(2 + 2x - x^2) - 2$.
1) Найдём область определения функции:[NEWLINE]
$D(y): \quad 2 + 2x - x^2 \gt 0 \Rightarrow -x^2 + 2x + 2 \gt 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 2 \lt 0$[NEWLINE]
Корни: $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ [NEWLINE]
$D(y): \left(1 - \sqrt{3};\; 1 + \sqrt{3}\right)$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
2) Найдём производную:[NEWLINE]
Пусть $u = 2 + 2x - x^2$, тогда $y = \log_2 u - 2$, [NEWLINE]
$y' = \dfrac{1}{u \ln 2} \cdot u'$, [NEWLINE]
$u' = 2 - 2x = 2(1 - x)$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
$y' = \frac{2(1 - x)}{(2 + 2x - x^2)\ln 2}$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Знаменатель > 0 на $D(y)$, $\ln 2 \gt 0$, знак $y'$ определяется числителем: [NEWLINE]
$y' = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[image:0:right]3) Определим знаки производной.[IMAGENEWLINE]
При $x=1$ происходит смена знаков производной с $+$ на $-.$ Следовательно, $x_{\max} = 1$
Найдите точку максимума функции .
Решение:
1) Найдём область определения функции:
Корни:
2) Найдём производную:
Пусть , тогда ,
,
Знаменатель \gt 0 на , , знак определяется числителем:
Корни:
2) Найдём производную:
Пусть , тогда ,
,
Знаменатель \gt 0 на , , знак определяется числителем:
3) Определим знаки производной.
При происходит смена знаков производной с на Следовательно,
При происходит смена знаков производной с на Следовательно,
Ответ: 1
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день