В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE]
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE]
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; [NEWLINE]
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей; [NEWLINE]
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны; [NEWLINE]
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. [NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
Обозначим: [NEWLINE]
$A = 6{,}6$ (млн руб.), [NEWLINE]
$n = 5$, [NEWLINE]
$k = 1 + \dfrac{r}{100}$, [NEWLINE]
$y$ — выплата в 2027–2029 гг., [NEWLINE]
$x$ — выплата в 2030 и 2031 гг.[NEWLINE]
Составим таблицу:[NEWLINE]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\
\hline
2027 & A & A k & y & A \\
\hline
2028 & A & A k & y & A \\
\hline
2029 & A & A k & y & A \\
\hline
2030 & A & A k & x & A k - x \\
\hline
2031 & A k - x & (A k - x)k & x & 0 \\
\hline
\end{array}
\][NEWLINE]
Из первой строки:
$A k - y = A \Rightarrow y = A(k - 1)$[NEWLINE]
Из последней строки:
$(A k - x)k - x = 0 \Rightarrow A k^2 - x k - x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{A k^2}{k + 1}$[NEWLINE]
Общая сумма выплат:
$
3y + 2x = 3A(k - 1) + 2 \cdot \frac{A k^2}{k + 1} = 12{,}6
$[NEWLINE]
Подставим $A = 6{,}6$:[NEWLINE]
$
3 \cdot 6{,}6 (k - 1) + \frac{2 \cdot 6{,}6 \cdot k^2}{k + 1} = 12{,}6
$[NEWLINE]
$
3(k - 1) + \frac{2k^2}{k + 1} = \frac{12{,}6}{6{,}6} = \frac{126}{66} = \frac{21}{11}
$[NEWLINE]
$
3(k - 1)(k + 1) + 2k^2 = \frac{21}{11}(k + 1)
$[NEWLINE]
$
3(k^2 - 1) + 2k^2 = \frac{21}{11}(k + 1)
$[NEWLINE]$ 5k^2 - 3 = \frac{21}{11}k + \frac{21}{11}
$[NEWLINE]
$
55k^2 - 33 = 21k + 21
$[NEWLINE]
$ 55k^2 - 21k - 54 = 0
$[NEWLINE]
$
D = (-21)^2 + 4 \cdot 55 \cdot 54 = 111^2
$[NEWLINE]
$
k = \frac{21 \pm 111}{110}
\Rightarrow $$k_1 = \frac{132}{110} = 1{,}2,$$ k_2 = \frac{-90}{110} < 0
$[NEWLINE]
$
k = 1{,}2 = 1 + \frac{r}{100} \Rightarrow r = 20
$[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] 20
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
Решение:
Обозначим:
(млн руб.),
,
,
— выплата в 2027–2029 гг.,
— выплата в 2030 и 2031 гг.
Составим таблицу:
Из первой строки:
Из последней строки:
Общая сумма выплат:
Подставим :
Ответ: 20
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день