В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка \(K\) — середина ребра B₁C₁. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки B, K и D.[NEWLINE]
а) Докажите, что сечение куба плоскостью \(\alpha\) является равнобедренной трапецией. [NEWLINE]
б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости \(\alpha\), если ребро куба равно 3.
[image:0:right]Построим плоскость $\alpha:$[IMAGENEWLINE]
1) Соединим $K$ и $B,$ а также $B$ и $D;$[IMAGENEWLINE]
2) Так как плоскость пересекает параллельные верхнюю и нижнюю грани, то линии их пересечения параллельны $BD||KM.$[IMAGENEWLINE]
3) $BDMK$ — искомая плоскость $\alpha.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE]
$BDMK$ — трапеция $(BD||MK).$ Осталось доказать, что она равнобедренная. Для этого необходимо условие: $BK=MD.$ Докажем его.[IMAGENEWLINE]
Для начала докажем, что $\triangle BB_1K=\triangle DD_1M.$[IMAGENEWLINE]
1) $DD_1=BB_1$ ($ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб)[IMAGENEWLINE]
2) Так как $BD||B_1D_1,$ то $B_1D_1||KM\rightarrow M$ — середина $C_1D_1.$[IMAGENEWLINE]
3) Так как в основании лежит квадрат, то $B_1C_1=C_1D_1\rightarrow B_1K=MD_1$[IMAGENEWLINE]
$\angle BB_1K=\angle DD_1M=90^\circ$[IMAGENEWLINE]
Следовательно, $\triangle BB_1K=\triangle DD_1M.$ по двум сторонам и углу между ними.[IMAGENEWLINE]
Значит $MD=BK \Rightarrow BDMK$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
[image:1:right]б) Проведём необходимые дополнительные построения:[IMAGENEWLINE]
1) Продолжим плоскости $\alpha,(DCC_1),(BCC_1)$ до их пересечения в точке $S.$[IMAGENEWLINE]
2) Проведём $A_1C_1$ и $SP,$ после чего проведём $C_1H$ — искомое расстояние, которое является высотой, проведенной из прямого угла, так как $SC_1\perp A_1C_1.$[IMAGENEWLINE]
Следовательно, $C_1H=\frac{C_1P\cdot SC_1}{SP}$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
$B_1K=KC_1=C_1M=MD_1=\frac{3}{2}$[IMAGENEWLINE]
$B_1D=3\sqrt{2}$ как диагональ квадрата.[IMAGENEWLINE]
$KM=\frac{3\sqrt2}{2}$ как средняя линия равнобедренного треугольника $\triangle B_1C_1D_1.$[IMAGENEWLINE]
Так как $A_1C_1 \perp B_1D_1$ и $C_1P\in A_1C_1,$ то $KP=PM=\frac{1}{2}KM=\frac{3\sqrt2}{4}.$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
$C_1M||DC,\quad C_1M=\frac{1}{2}DC\Rightarrow C_1M$ — средняя линия треугольника $\triangle SDC\rightarrow SC_1=3.$[IMAGENEWLINE]
Найдём $C_1P$ по теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE]
$C_1P=\sqrt{(\frac{3}{2})^2-(\frac{3\sqrt2}{4})^2}=\frac{3\sqrt2}{4}$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
$SP=\sqrt{(\frac{3\sqrt2}{4})^2+3^2}=\frac{9\sqrt2}{4}.$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
Тогда $C_1H=\frac{\frac{3\sqrt2}{4}\cdot3}{\frac{9\sqrt2}{4}}=1.$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
[BOLD]Ответ: [/BOLD] б) 1.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка — середина ребра B₁C₁. Плоскость проходит через точки B, K и D.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости , если ребро куба равно 3.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости , если ребро куба равно 3.
Решение:
Построим плоскость
1) Соединим и а также и
2) Так как плоскость пересекает параллельные верхнюю и нижнюю грани, то линии их пересечения параллельны
3) — искомая плоскость
— трапеция Осталось доказать, что она равнобедренная. Для этого необходимо условие: Докажем его.
Для начала докажем, что
1) ( — куб)
2) Так как то — середина
3) Так как в основании лежит квадрат, то
Следовательно, по двум сторонам и углу между ними.
Значит — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
1) Соединим и а также и
2) Так как плоскость пересекает параллельные верхнюю и нижнюю грани, то линии их пересечения параллельны
3) — искомая плоскость
— трапеция Осталось доказать, что она равнобедренная. Для этого необходимо условие: Докажем его.
Для начала докажем, что
1) ( — куб)
2) Так как то — середина
3) Так как в основании лежит квадрат, то
Следовательно, по двум сторонам и углу между ними.
Значит — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
б) Проведём необходимые дополнительные построения:
1) Продолжим плоскости до их пересечения в точке
2) Проведём и после чего проведём — искомое расстояние, которое является высотой, проведенной из прямого угла, так как
Следовательно,
как диагональ квадрата.
как средняя линия равнобедренного треугольника
Так как и то
— средняя линия треугольника
Найдём по теореме Пифагора:
Тогда
Ответ: б) 1.
1) Продолжим плоскости до их пересечения в точке
2) Проведём и после чего проведём — искомое расстояние, которое является высотой, проведенной из прямого угла, так как
Следовательно,
как диагональ квадрата.
как средняя линия равнобедренного треугольника
Так как и то
— средняя линия треугольника
Найдём по теореме Пифагора:
Тогда
Ответ: б) 1.
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день