В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.[NEWLINE] а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.[NEWLINE] б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \frac{7}{25}$.
[image:0:right]а) $MN$ — средняя линия по определению. Следовательно, $MN||AC.$ Отсюда следует, что $\angle LAC = \angle MNA$ как накрест лежащие углы при $MN||AC$ и $AL$ — секущей.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Опишем окружность около треугольника $\triangle ABC$ с центром в точке $M \rightarrow AB$ — диаметр. Заметим, что точка $L$ принадлежит окружности, так как $AL$ — биссектриса угла, а значит стягиваются равные дуги равными хордами. [IMAGENEWLINE] Из этого следует, что $BL=LC \Rightarrow \triangle BLC$ — равнобедренный. Причём, $\angle LBC=\angle LCB.$ При этом, они опираются на те же дуги, что и углы, образованные биссектрисой.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда $\angle LBC = \angle LCB = \angle LAC = \angle MAL \Rightarrow$ $\triangle BLC \sim \triangle MAL$ по двум равным углам (I-й признак подобия треугольников), что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит его и надо найти для ответа на вопрос пункта.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] $\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB}= \frac{7}{25}.$ Пусть $AC=7x,AB=25x.$[IMAGENEWLINE] Найдём $\cos \angle BAL$ как косинус половинного угла:[IMAGENEWLINE] $\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \rightarrow$ $\cos \frac{\angle BAC}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \angle BAC}{2}} =\frac{4}{5}.$ [IMAGENEWLINE] $\cos \frac{\angle BAC}{2}=\cos \angle BAL = \frac{AL}{AB}, $ так как $\angle ALB=90^\circ$ как вписанный угол, опирающий на диаметр $AB.$ Пусть $AL=4y, AB=5y.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Тогда $25x=5y \Leftrightarrow y=5x.$[IMAGENEWLINE] Тогда $AL=4\cdot5x=20x.$ [IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора для $\triangle ABL$, $BL=15x.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда из подобия треугольников следует, что $\frac{AM}{BL}=k,$ где $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}x.$ Тогда:[IMAGENEWLINE] $\frac{AM}{BL}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}=k.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\frac{S_{AML}}{S_{BLC}}=k^2=(\frac{5}{6})^2=\frac{25}{36}.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD] б) $\frac{25}{36}$
Задание 18, (№882 в банке заданий)
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если \cos \angle BAC = \frac{7}{25} .

Решение:

Solution image 0
а) MN — средняя линия по определению. Следовательно, MN||AC. Отсюда следует, что \angle LAC = \angle MNA как накрест лежащие углы при MN||AC и AL — секущей.

Опишем окружность около треугольника \triangle ABC с центром в точке M \rightarrow AB — диаметр. Заметим, что точка L принадлежит окружности, так как AL — биссектриса угла, а значит стягиваются равные дуги равными хордами.
Из этого следует, что BL=LC \Rightarrow \triangle BLC — равнобедренный. Причём, \angle LBC=\angle LCB. При этом, они опираются на те же дуги, что и углы, образованные биссектрисой.

Тогда \angle LBC = \angle LCB = \angle LAC = \angle MAL \Rightarrow \triangle BLC \sim \triangle MAL по двум равным углам (I-й признак подобия треугольников), что и требовалось доказать.

Solution image 1
б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит его и надо найти для ответа на вопрос пункта.

\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB}= \frac{7}{25}. Пусть AC=7x,AB=25x.
Найдём \cos \angle BAL как косинус половинного угла:
\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \rightarrow \cos \frac{\angle BAC}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \angle BAC}{2}} =\frac{4}{5}.
\cos \frac{\angle BAC}{2}=\cos \angle BAL = \frac{AL}{AB}, так как \angle ALB=90^\circ как вписанный угол, опирающий на диаметр AB. Пусть AL=4y, AB=5y.

Тогда 25x=5y \Leftrightarrow y=5x.
Тогда AL=4\cdot5x=20x.
По теореме Пифагора для \triangle ABL , BL=15x.

Тогда из подобия треугольников следует, что \frac{AM}{BL}=k, где AM=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}x. Тогда:
\frac{AM}{BL}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}=k.

\frac{S_{AML}}{S_{BLC}}=k^2=(\frac{5}{6})^2=\frac{25}{36}.

Ответ: б) \frac{25}{36}

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com