Заметим, что переменная $x$ либо в модуле, либо в квадрате. Это означает чётность функции, откуда следует, что её значения "отражаются" от оси $Oy.$ Это наводит на мысль о том, что если мы найдём одно решение, то автоматически на второй половине плоскости будет еще одно решение. Значит нам необходимо взять $x=0.$ [NEWLINE] [BOLD]Обращаю ваше внимание[/BOLD], что это [BOLD]НЕОБХОДИМОЕ[/BOLD] условие, но [BOLD]НЕ ДОСТАТОЧНОЕ[/BOLD] для одного решения. После нахождения кандидатов, нам обязательно придется их проверить, так как это не обычный дискриминант или еще что-то, что гарантирует нам количество решений![NEWLINE] Подставляем:[NEWLINE] \(\begin{cases} 2^{|0|+3}+7\cdot|0|+1=8y+7\cdot0^2+a \\ 0^2+y^2=1 \end{cases}\) \(\begin{cases} 2^{3}+1=8y+a \\ y^2=1 \end{cases}\) \(\begin{cases} 9=8y+a \\ \left[\begin{aligned} & y_1=1 \\& y_2=-1 \\\end{aligned}\right. \end{cases}\)[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & 9=8\cdot 1+a \\& 9=8\cdot(-1)+a \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & a=1 \\& a=17 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Теперь необходимо проверить количество решений для этих кандидатов:[NEWLINE] 1) $a=1:$ [NEWLINE] $2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+1$[NEWLINE] $8\cdot2^{|x|}+7\cdot|x|=8y+7x^2$[NEWLINE] $8\cdot2^{|x|}-8y=7x^2-7|x|$[NEWLINE] $8(2^{|x|}-y)=7(x^2-|x|)$[NEWLINE] Необходимо исследовать возможные решения. Если вам очевидно, что это возможно, когда левая и правая часть ноль (что утверждали некоторые преподаватели при разборах), то это не полная правда. Это лишь следствие. А причиной является окружность (А точнее, её ограничения) и допустимые значения функций $2^{|x|}$ и $x^2-|x|$! Это база для таких заданий. Такой вид задания на анализ допустимых значений даже есть в 13-м номере.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Для начала, исследуем окружность:[NEWLINE] $x^2+y^2=1$ — окружность с центром в точке $(0;0),$ R=1 $\Rightarrow x \in [-1;1],y\in[-1;1]$. Эти ограничения накладываются и на второе уравнение системы, ведь именно в этой плоскости могут быть решения.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [image:0:right]Исследуем $2^{|x|}.$ Пусть $f(x)=2^{|x|}.$[IMAGENEWLINE] Так как $x\in [0;+\infty]$ (ввиду модуля) и $2^x \gt 0,$ то $2^{|x|}\geq1$ (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Учитывая $x \in [-1;1]:\quad 2^{|x|}=1\Rightarrow x=0,$ то есть это единственное значение, которое может принимать $x.$[IMAGENEWLINE] Зная, что $y\in[-1;1],$ делаем вывод о том, что $2^{|x|}-y \geq 0$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]Исследуем $x^2-|x|.$ Пусть $f(x)=x^2-|x|.$[IMAGENEWLINE] \(f(x)=\begin{cases} x^2-x,\quad x \geq 0 \\ x^2+x,\quad x \lt 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Учитывая ограничения окружности:[IMAGENEWLINE] \(f(x)=\begin{cases} x^2-x,\quad 0 \leq x \leq 1 \\ x^2+x,\quad -1 \leq x \lt 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Это две параболы, причём их минимальные значения будут в вершине, а максимальные в нулях функции (ввиду тех же ограничений, см. рис.). Откуда делаем вывод, что $x^2-|x| \leq 0.$ [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} 2^{|x|}-y \geq 0 \\ x^2-|x| \leq 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Тогда равными они могут быть только если они равны нулю. Находим нули этих функций и получаем единственную пару чисел $(0;1).$ Следовательно, условие задачи [BOLD]выполняется.[/BOLD][IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 2) $a=17:$[IMAGENEWLINE] $8\cdot 2^{|x|}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+17$[IMAGENEWLINE] Это уже более сложная функция. Тут необходим метод зоркого глаза. Давайте представим, что вот есть у нас окружность. И нам необходимо, чтобы её пересекла какая-то там функция лишь один раз. Когда такое может быть? При касании, но вдруг функция всё-таки пересекает нашу окружность? И вот тут нам поможет банальный перебор тех значений функции, которые мы можем вообще получить. [IMAGENEWLINE] [BOLD]Если какое-то значение функции находится внутри плоскости окружности, то значит она её пересекает.[/BOLD][IMAGENEWLINE] [image:2:right]И вот здесь как раз-таки нужно просто взять те значения, которые удобно считать. Мы знаем, что на краях окружности находятся очень удобные значения $(-1;0)$ и $(1;0).$ Тогда если вы их подставите, то вы получите верное решение в случае с $(1;0)$. Это означает, что окружность пересекается этой функцией. Причём пересекается снизу, так как ещё пара решений это $(0;-1).$ Откуда получается 2 решения, что нам не подходит. Оставил рисунок, оставил для пущего понимания, но на экзамене хватит и эскиза из двух точек даже без доказательства монотонного возрастания/убывания функции[IMAGENEWLINE] Значит $a=17$ — посторонний кандидат.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a=1$