Здесь основания логарифмов одинаковы, поэтому знак неравенства между аргументами зависит от того, больше основание единицы или меньше. Сначала находим ОДЗ, затем на ней определяем поведение основания и убираем логарифмы.[NEWLINE] Свойства и факты: при $a > 1$ функция $\log_a t$ возрастает и знак сохраняется; дискриминант $D = b^2 - 4ac$ показывает знак квадратного трёхчлена.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ:[/BOLD] \(\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1\neq 1 \\ x^2 - 5x + 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} x^2 - 5x + 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases}\)[NEWLINE] Из $x > 0$ автоматически $x + 1 > 1$, так что условие $x + 1 \neq 1$ выполнено.[NEWLINE] Проверяем $x^2 - 5x + 7$: $D = 25 - 28 = -3 < 0$, старший коэффициент положителен, значит трёхчлен положительнен при всех $x$.[NEWLINE] [BOLD]Итого ОДЗ:[/BOLD] $x > 0$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] На всей ОДЗ основание $x + 1 > 1$, логарифм возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:[NEWLINE] $\log_{x+1}(x^2 - 5x + 7) \leqslant \log_{x+1} x.$[NEWLINE] $x^2 - 5x + 7 \leqslant x $.[NEWLINE] $x^2 - 6x + 7 \leqslant 0$[NEWLINE] Корни квадратного уравнения: $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.[NEWLINE] Решение квадратного неравенства (графиком является парабола, ветви вверх): $x \in [3 - \sqrt{2};\, 3 + \sqrt{2}]$.[NEWLINE] Поскольку $3 - \sqrt{2} > 0$, весь этот отрезок лежит в ОДЗ $x > 0$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $[3 - \sqrt{2};\, 3 + \sqrt{2}].$