Решите неравенство $3^{\log_{3}(25-5^x)}+25^x-45 \geqslant 0.$
$3^{\log_{3}(25-5^x)}+25^x-45 \geqslant 0.$[NEWLINE]
[BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE]
$25 - 5^x \gt 0 \rightarrow $$5^x \lt 25 \rightarrow $$x \lt 2$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
$3^{\log_3(25-5^x)} + 25^x - 45 \geqslant 0.$[NEWLINE]
По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3(25-5^x)} = 25 - 5^x$:[NEWLINE]
$(25 - 5^x) + 25^x - 45 \geqslant 0$[NEWLINE]
$25^x - 5^x - 20 \geqslant 0$[NEWLINE]
Замечаем, что $25^x = (5^x)^2$, и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно $5^x$:[NEWLINE]
$(5^x + 4)(5^x - 5) \geqslant 0$[NEWLINE]
Так как $5^x + 4 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $5^x - 5 \geqslant 0$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE]
$5^x - 5 = 0$[NEWLINE]
$5^x = 5$[NEWLINE]
$x = 1$[NEWLINE]
Граница ОДЗ $x = 2$ выкалывается.[NEWLINE]
$x-1 \geqslant 0$ при $x \lt 2$[NEWLINE]
$x \in [1;\, 2)$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] $[1;\, 2).$
Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
По основному логарифмическому тождеству :
Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :
Так как при всех , неравенство равносильно .
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:
Граница ОДЗ выкалывается.
при
Ответ:
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день