Решите неравенство $3^{\log_{3}(2^x-2)}+4^x-18 \leqslant 0.$
$3^{\log_{3}(2^x-2)}+4^x-18 \leqslant 0.$[NEWLINE]
[BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE]
$2^x - 2 \gt 0 \rightarrow $$2^x \gt 2 \rightarrow $$x \gt 1$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
$3^{\log_3(2^x-2)} + 4^x - 18 \leqslant 0.$[NEWLINE]
По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3(2^x-2)} = 2^x - 2$:[NEWLINE]
$(2^x - 2) + 4^x - 18 \leqslant 0$[NEWLINE]
$4^x + 2^x - 20 \leqslant 0$[NEWLINE]
Замечаем, что $4^x = (2^x)^2$, и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно $2^x$:[NEWLINE]
$(2^x + 5)(2^x - 4) \leqslant 0$[NEWLINE]
Так как $2^x + 5 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $2^x - 4 \leqslant 0$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE]
$2^x - 4 = 0$[NEWLINE]
$2^x = 4$[NEWLINE]
$x = 2$[NEWLINE]
Граница ОДЗ $x = 1$ выкалывается.[NEWLINE]
$x-2 \leqslant 0$ при $x \gt 1$[NEWLINE]
$x \in (1;\, 2]$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] $(1;\, 2].$
Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
По основному логарифмическому тождеству :
Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :
Так как при всех , неравенство равносильно .
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:
Граница ОДЗ выкалывается.
при
Ответ:
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день