Решите неравенство $5^{\log_{5}(x^2-1)}+x^4-5 \leqslant 0.$
$5^{\log_{5}(x^2-1)}+x^4-5 \leqslant 0.$[NEWLINE]
[BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE]
$x^2 - 1 \gt 0 \rightarrow $$x^2 \gt 1 \rightarrow $$x \in (-\infty;\, -1) \cup (1;\, +\infty)$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
$5^{\log_5(x^2-1)} + x^4 - 5 \leqslant 0.$[NEWLINE]
По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5(x^2-1)} = x^2 - 1$:[NEWLINE]
$(x^2 - 1) + x^4 - 5 \leqslant 0$[NEWLINE]
$x^4 + x^2 - 6 \leqslant 0$[NEWLINE]
$(x^2 + 3)(x^2 - 2) \leqslant 0$[NEWLINE]
Так как $x^2 + 3 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $x^2 - 2 \leqslant 0$, то есть $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \leqslant 0$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Границы ОДЗ $x = 1$ и $x = -1$ выкалываются.[NEWLINE]
$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \leqslant 0$ при $x \in (-\infty;\, -1) \cup (1;\, +\infty)$[NEWLINE]
$x \in [-\sqrt{2};\, -1) \cup (1;\, \sqrt{2}]$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] $[-\sqrt{2};\, -1) \cup (1;\, \sqrt{2}].$
Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
По основному логарифмическому тождеству :
Так как при всех , неравенство равносильно , то есть .
Границы ОДЗ и выкалываются.
при
Ответ:
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день