Решите неравенство $2^{\log_{2}(3^x-1)}+9^x-11 \leqslant 0.$
$2^{\log_{2}(3^x-1)}+9^x-11 \leqslant 0.$[NEWLINE]
[BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE]
$3^x - 1 \gt 0 \rightarrow $$3^x \gt 1 \rightarrow $$x \gt 0$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
$2^{\log_2(3^x-1)} + 9^x - 11 \leqslant 0.$[NEWLINE]
По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2(3^x-1)} = 3^x - 1$:[NEWLINE]
$(3^x - 1) + 9^x - 11 \leqslant 0$[NEWLINE]
$9^x + 3^x - 12 \leqslant 0$[NEWLINE]
Замечаем, что $9^x = (3^x)^2$, и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно $3^x$:[NEWLINE]
$(3^x + 4)(3^x - 3) \leqslant 0$[NEWLINE]
Так как $3^x + 4 \gt 0$ при всех $x$, неравенство равносильно $3^x - 3 \leqslant 0$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE]
$3^x - 3 = 0$[NEWLINE]
$3^x = 3$[NEWLINE]
$x = 1$[NEWLINE]
Граница ОДЗ $x = 0$ выкалывается.[NEWLINE]
$x-1 \leqslant 0$ при $x \gt 0$[NEWLINE]
$x \in (0;\, 1]$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] $(0;\, 1].$
Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
По основному логарифмическому тождеству :
Замечаем, что , и раскладываем как квадратный трёхчлен относительно :
Так как при всех , неравенство равносильно .
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:
Граница ОДЗ выкалывается.
при
Ответ:
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день