Решите неравенство $5^{\log_{5}(\log_{5} x)}+\log_{0.2}^{2} x-12 \leqslant 0.$
$5^{\log_{5}(\log_{5} x)}+\log_{0.2}^{2} x-12 \leqslant 0$[NEWLINE] [BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE] $\log_5 x \gt 0 \rightarrow x \in (1;\, +\infty)$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $5^{\log_5(\log_5 x)} + \log_{0.2}^2 x - 12 \leqslant 0.$[NEWLINE] По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5(\log_5 x)} = \log_5 x$.[NEWLINE] Преобразуем второе слагаемое: так как $0.2 = 5^{-1}$, то $\log_{0.2} x = -\log_5 x$, а в квадрате $\log_{0.2}^2 x = \log_5^2 x$.[NEWLINE] $\log_5 x + \log_5^2 x - 12 \leqslant 0$[NEWLINE] Раскладываем квадратный трёхчлен относительно $\log_5 x$ (глобально, можем заменить переменную $\log_5 x$ и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):[NEWLINE] $(\log_5 x - 3)(\log_5 x + 4) \leqslant 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE] $\log_5 x - 3 = 0$[NEWLINE] $\log_5 x = 3$[NEWLINE] $x = 125$[NEWLINE] $\log_5 x + 4 = 0$[NEWLINE] $\log_5 x = -4$[NEWLINE] $x = \dfrac{1}{625}$[NEWLINE] Так как основание $5 \gt 1$, знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по $x$: $\log_5 x - 3 = \log_5 x - \log_5 125$ даёт знак $(x - 125)$, а $\log_5 x + 4 = \log_5 x - \log_5 \dfrac{1}{625}$ даёт знак $\left(x - \dfrac{1}{625}\right)$. Значит неравенство равносильно $(x - 125)\left(x - \dfrac{1}{625}\right) \leqslant 0$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Граница ОДЗ $x = 1$ выкалывается.[NEWLINE] $(x - 125)\left(x - \dfrac{1}{625}\right) \leqslant 0$ при $x \gt 1$[NEWLINE] $x \in (1;\, 125]$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(1;\, 125].$[NEWLINE]
Задание 16, (№921 в банке заданий)
Решите неравенство 5^{\log_{5}(\log_{5} x)}+\log_{0.2}^{2} x-12 \leqslant 0.

Решение:

5^{\log_{5}(\log_{5} x)}+\log_{0.2}^{2} x-12 \leqslant 0
ОДЗ:
\log_5 x \gt 0 \rightarrow x \in (1;\, +\infty)
5^{\log_5(\log_5 x)} + \log_{0.2}^2 x - 12 \leqslant 0.
По основному логарифмическому тождеству 5^{\log_5(\log_5 x)} = \log_5 x .
Преобразуем второе слагаемое: так как 0.2 = 5^{-1} , то \log_{0.2} x = -\log_5 x , а в квадрате \log_{0.2}^2 x = \log_5^2 x .
\log_5 x + \log_5^2 x - 12 \leqslant 0
Раскладываем квадратный трёхчлен относительно \log_5 x (глобально, можем заменить переменную \log_5 x и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):
(\log_5 x - 3)(\log_5 x + 4) \leqslant 0
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:
\log_5 x - 3 = 0
\log_5 x = 3
x = 125
\log_5 x + 4 = 0
\log_5 x = -4
x = \dfrac{1}{625}
Так как основание 5 \gt 1 , знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по x : \log_5 x - 3 = \log_5 x - \log_5 125 даёт знак (x - 125) , а \log_5 x + 4 = \log_5 x - \log_5 \dfrac{1}{625} даёт знак \left(x - \dfrac{1}{625}\right) . Значит неравенство равносильно (x - 125)\left(x - \dfrac{1}{625}\right) \leqslant 0 .
Граница ОДЗ x = 1 выкалывается.
(x - 125)\left(x - \dfrac{1}{625}\right) \leqslant 0 при x \gt 1
x \in (1;\, 125]
Ответ: (1;\, 125].

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com