Решите неравенство $2^{\log_{2}(\log_{2} x)}+\log_{4}^{2} x-3 \leqslant 0.$
$2^{\log_{2}(\log_{2} x)}+\log_{4}^{2} x-3 \leqslant 0$[NEWLINE]
[BOLD]ОДЗ: [/BOLD][NEWLINE]
$\log_2 x \gt 0 \rightarrow x \in (1;\, +\infty)$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
$2^{\log_2(\log_2 x)} + \log_4^2 x - 3 \leqslant 0.$[NEWLINE]
По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2(\log_2 x)} = \log_2 x$.[NEWLINE]
Преобразуем второе слагаемое: так как $4 = 2^2$, то $\log_4 x = \dfrac{1}{2}\log_2 x$, а в квадрате $\log_4^2 x = \dfrac{1}{4}\log_2^2 x$.[NEWLINE]
$\log_2 x + \dfrac{1}{4}\log_2^2 x - 3 \leqslant 0$[NEWLINE]
$\log_2^2 x + 4\log_2 x - 12 \leqslant 0$[NEWLINE]
Раскладываем квадратный трёхчлен относительно $\log_2 x$ (глобально, можем заменить переменную $\log_2 x$ и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):[NEWLINE]
$(\log_2 x - 2)(\log_2 x + 6) \leqslant 0$[NEWLINE]
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:[NEWLINE]
$\log_2 x - 2 = 0$[NEWLINE]
$\log_2 x = 2$[NEWLINE]
$x = 4$[NEWLINE]
$\log_2 x + 6 = 0$[NEWLINE]
$\log_2 x = -6$[NEWLINE]
$x = \dfrac{1}{64}$[NEWLINE]
Так как основание $2 \gt 1$, знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по $x$: $\log_2 x - 2 = \log_2 x - \log_2 4$ даёт знак $(x - 4)$, а $\log_2 x + 6 = \log_2 x - \log_2 \dfrac{1}{64}$ даёт знак $\left(x - \dfrac{1}{64}\right)$. Значит неравенство равносильно $(x - 4)\left(x - \dfrac{1}{64}\right) \leqslant 0$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Граница ОДЗ $x = 1$ выкалывается.[NEWLINE]
$(x - 4)\left(x - \dfrac{1}{64}\right) \leqslant 0$ при $x \gt 1$[NEWLINE]
$x \in (1;\, 4]$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] $(1;\, 4].$
Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
По основному логарифмическому тождеству .
Преобразуем второе слагаемое: так как , то , а в квадрате .
Раскладываем квадратный трёхчлен относительно (глобально, можем заменить переменную и решить квадратное уравнение для разложения на множители, но этот момент я опустил):
Найдём нули и учтём ОДЗ для перехода к методу интервалов:
Так как основание , знак каждого множителя совпадает со знаком соответствующей разности по : даёт знак , а даёт знак . Значит неравенство равносильно .
Граница ОДЗ выкалывается.
при
Ответ:
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день