В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;[NEWLINE] — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;[NEWLINE] — суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны.[NEWLINE] Найдите $r$, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.
$A = 6{,}6$ млн руб.[NEWLINE] $n = 5$ лет[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] $x$ — выплата в 2030 и 2031 годах (они равны).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2027) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 2\ (2028) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 3\ (2029) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 4\ (2030) & A & Ak & x \\ \hline 5\ (2031) & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] После пятого платежа долг $= 0$:[NEWLINE] $ (Ak - x)k - x = 0 \Rightarrow$$ Ak^2 - xk - x = 0 \Rightarrow $$x(k + 1) = Ak^2 \Rightarrow $$x = \dfrac{Ak^2}{k + 1} $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Общий размер выплат равен 12,6:[NEWLINE] \[ 3(Ak - A) + 2x = 12{,}6 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $A = 6{,}6$ и $x = \dfrac{6{,}6k^2}{k + 1}$:[NEWLINE] \[ 19{,}8(k - 1) + \dfrac{13{,}2k^2}{k + 1} = 12{,}6 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Умножим обе части на $(k + 1)$ и раскроем скобки:[NEWLINE] \[ (19{,}8k - 32{,}4)(k + 1) + 13{,}2k^2 = 0 \][NEWLINE] \[ 19{,}8k^2 + 19{,}8k - 32{,}4k - 32{,}4 + 13{,}2k^2 = 0 \][NEWLINE] \[ 33k^2 - 12{,}6k - 32{,}4 = 0 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Умножим на 10 и сократим на 6:[NEWLINE] \[ 55k^2 - 21k - 54 = 0 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 55 \cdot (-54) = 111^2 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $k = \dfrac{21 \pm 111}{110}$[NEWLINE] $k_1 = \dfrac{132}{110} = 1{,}2,\quad k_2 = \dfrac{-90}{110} = -\dfrac{9}{11}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $k = 1{,}2 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$\dfrac{r}{100} = 0{,}2 \Rightarrow r = 20$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 20
Задание 13, (№934 в банке заданий)
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r\% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
— суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны.
Найдите r , если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.

Решение:

A = 6{,}6 млн руб.
n = 5 лет
k = 1 + \dfrac{r}{100}
x — выплата в 2030 и 2031 годах (они равны).
Составим таблицу:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2027) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 2\ (2028) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 3\ (2029) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 4\ (2030) & A & Ak & x \\ \hline 5\ (2031) & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline \end{array}
После пятого платежа долг = 0 :
(Ak - x)k - x = 0 \Rightarrow Ak^2 - xk - x = 0 \Rightarrow x(k + 1) = Ak^2 \Rightarrow x = \dfrac{Ak^2}{k + 1}
Общий размер выплат равен 12,6:
3(Ak - A) + 2x = 12{,}6
Подставим A = 6{,}6 и x = \dfrac{6{,}6k^2}{k + 1} :
19{,}8(k - 1) + \dfrac{13{,}2k^2}{k + 1} = 12{,}6
Умножим обе части на (k + 1) и раскроем скобки:
(19{,}8k - 32{,}4)(k + 1) + 13{,}2k^2 = 0
19{,}8k^2 + 19{,}8k - 32{,}4k - 32{,}4 + 13{,}2k^2 = 0
33k^2 - 12{,}6k - 32{,}4 = 0
Умножим на 10 и сократим на 6:
55k^2 - 21k - 54 = 0
D = (-21)^2 - 4 \cdot 55 \cdot (-54) = 111^2
k = \dfrac{21 \pm 111}{110}
k_1 = \dfrac{132}{110} = 1{,}2,\quad k_2 = \dfrac{-90}{110} = -\dfrac{9}{11}
k = 1{,}2 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow \dfrac{r}{100} = 0{,}2 \Rightarrow r = 20
Ответ: 20

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com