В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;[NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;[NEWLINE] — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей;[NEWLINE] — выплаты в 2030 и 2031 годах равны;[NEWLINE] — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.[NEWLINE] Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.
$A = 4{,}2$ млн руб.[NEWLINE] $n = 5$ лет[NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$[NEWLINE] $x$ — выплата в 2030 и 2031 годах (они равны).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2027) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 2\ (2028) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 3\ (2029) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 4\ (2030) & A & Ak & x \\ \hline 5\ (2031) & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] После пятого платежа долг $= 0$:[NEWLINE] \[ (Ak - x)k - x = 0 \Rightarrow $$ Ak^2 - xk - x = 0 \Rightarrow $$ x(k + 1) = Ak^2 \Rightarrow $$ x = \dfrac{Ak^2}{k + 1} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Общая сумма выплат равна 6,1:[NEWLINE] \[ 3(Ak - A) + 2x = 6{,}1 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $A = 4{,}2$ и $x = \dfrac{4{,}2k^2}{k + 1}$:[NEWLINE] \[ 12{,}6(k - 1) + \dfrac{8{,}4k^2}{k + 1} = 6{,}1 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Умножим обе части на $(k + 1)$ и раскроем скобки:[NEWLINE] \[ (12{,}6k - 18{,}7)(k + 1) + 8{,}4k^2 = 0 \][NEWLINE] \[ 12{,}6k^2 + 12{,}6k - 18{,}7k - 18{,}7 + 8{,}4k^2 = 0 \][NEWLINE] \[ 21k^2 - 6{,}1k - 18{,}7 = 0 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Умножим на 10:[NEWLINE] \[ 210k^2 - 61k - 187 = 0 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ D = (-61)^2 - 4 \cdot 210 \cdot (-187) = 401^2 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $k = \dfrac{61 \pm 401}{420}$[NEWLINE] $k_1 = \dfrac{462}{420} = $$ 1{,}1,\quad k_2 = $$ \dfrac{-340}{420} = $$ -\dfrac{17}{21}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $k = 1{,}1 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow $$ \dfrac{r}{100} = 0{,}1 \Rightarrow $$ r = 10$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 10
Задание 13, (№935 в банке заданий)
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r\% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 4,2 млн рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r , если известно, что общая сумма выплат равна 6,1 млн рублей.

Решение:

A = 4{,}2 млн руб.
n = 5 лет
k = 1 + \dfrac{r}{100}
x — выплата в 2030 и 2031 годах (они равны).
Составим таблицу:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} \\ \hline 1\ (2027) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 2\ (2028) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 3\ (2029) & A & Ak & Ak - A \\ \hline 4\ (2030) & A & Ak & x \\ \hline 5\ (2031) & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline \end{array}
После пятого платежа долг = 0 :
(Ak - x)k - x = 0 \Rightarrow $$ Ak^2 - xk - x = 0 \Rightarrow $$ x(k + 1) = Ak^2 \Rightarrow $$ x = \dfrac{Ak^2}{k + 1}
Общая сумма выплат равна 6,1:
3(Ak - A) + 2x = 6{,}1
Подставим A = 4{,}2 и x = \dfrac{4{,}2k^2}{k + 1} :
12{,}6(k - 1) + \dfrac{8{,}4k^2}{k + 1} = 6{,}1
Умножим обе части на (k + 1) и раскроем скобки:
(12{,}6k - 18{,}7)(k + 1) + 8{,}4k^2 = 0
12{,}6k^2 + 12{,}6k - 18{,}7k - 18{,}7 + 8{,}4k^2 = 0
21k^2 - 6{,}1k - 18{,}7 = 0
Умножим на 10:
210k^2 - 61k - 187 = 0
D = (-61)^2 - 4 \cdot 210 \cdot (-187) = 401^2
k = \dfrac{61 \pm 401}{420}
k_1 = \dfrac{462}{420} = 1{,}1,\quad k_2 = \dfrac{-340}{420} = -\dfrac{17}{21}
k = 1{,}1 = 1 + \dfrac{r}{100} \Rightarrow \dfrac{r}{100} = 0{,}1 \Rightarrow r = 10
Ответ: 10

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com