На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-32$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — на $8$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE] б) Может ли количество синих карт быть равным $40$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?[NEWLINE]
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Числа на синих картах — различные кратные $5$, большие $-32$, и наибольшее из них равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и все синие числа лежат в отрезке $[-30;\, r]$.[NEWLINE] Числа на красных картах — различные кратные $8$, большие $-32$, и наибольшее из них равно $3s$. Значит $3s$ кратно $8$, откуда $s$ кратно $8$, и все красные числа лежат в отрезке $[-24;\, 3s]$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $5$ в $[-30;\, r]$ ровно $\dfrac{r-(-30)}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 7$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{5} + 7 \][NEWLINE] Кратных $8$ в $[-24;\, 3s]$ ровно $\dfrac{3s-(-24)}{8} + 1 = \dfrac{3s}{8} + 4$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant \frac{3s}{8} + 4 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s = 1$?[NEWLINE] Тогда наибольшее красное число равно $3s = 3$. Но каждое красное число кратно $8$, а $3$ на $8$ не делится. Противоречие.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s = 40$?[NEWLINE] Из первого неравенства: $40 \leqslant \dfrac{r}{5} + 7 \Rightarrow \dfrac{r}{5} \geqslant 33 \Rightarrow r \geqslant 165$.[NEWLINE] Из второго неравенства: $r \leqslant \dfrac{3 \cdot 40}{8} + 4 = 15 + 4 = 19$.[NEWLINE] Получаем $165 \leqslant r \leqslant 19$ — невозможно.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE] Подставим второе неравенство в первое:[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{1}{5}\left(\frac{3s}{8} + 4\right) + 7 = \frac{3s}{40} + \frac{4}{5} + 7 \][NEWLINE] Умножим на $40$:[NEWLINE] \[ 40s \leqslant 3s + 32 + 280 \Rightarrow 37s \leqslant 312 \Rightarrow s \leqslant \frac{312}{37} = 8\frac{16}{37} \][NEWLINE] Так как $s$ кратно $8$, а ближайшее кратное $8$, не превосходящее $8\frac{16}{37}$, — это само $8$, остаётся единственная возможность $s = 8$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Пример при $s = 8$.[/BOLD] Тогда $r$ кратно $5$, из $8 \leqslant \dfrac{r}{5} + 7$ получаем $r \geqslant 5$, а из $r \leqslant \dfrac{3\cdot 8}{8} + 4 = 7$ получаем $r \leqslant 7$, откуда $r = 5$.[NEWLINE] Синие карты (кратные $5$, наибольшее $= r = 5$): $-30,\ -25,\ -20,\ -15,\ -10,\ -5,\ 0,\ 5$ — ровно $8$ карт.[NEWLINE] Красные карты (кратные $8$, наибольшее $= 3s = 24$): $24,\ 16,\ 8,\ 0,\ -8$ — ровно $5$ карт.[NEWLINE] Все условия выполнены, значит $s = 8$ достигается.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) нет; б) нет; в) $8$.
Задание 20, (№952 в банке заданий)
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее -32 . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5 , а на всех красных — на 8 . Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1 ?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40 ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Решение:

Обозначим через s количество синих карт, а через r — количество красных.
Ключевые факты.
Числа на синих картах — различные кратные 5 , большие -32 , и наибольшее из них равно r . Значит r кратно 5 , и все синие числа лежат в отрезке [-30;\, r] .
Числа на красных картах — различные кратные 8 , большие -32 , и наибольшее из них равно 3s . Значит 3s кратно 8 , откуда s кратно 8 , и все красные числа лежат в отрезке [-24;\, 3s] .
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных 5 в [-30;\, r] ровно \dfrac{r-(-30)}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 7 , поэтому
s \leqslant \frac{r}{5} + 7
Кратных 8 в [-24;\, 3s] ровно \dfrac{3s-(-24)}{8} + 1 = \dfrac{3s}{8} + 4 , поэтому
r \leqslant \frac{3s}{8} + 4
а) Может ли s = 1 ?
Тогда наибольшее красное число равно 3s = 3 . Но каждое красное число кратно 8 , а 3 на 8 не делится. Противоречие.
Ответ: нет.
б) Может ли s = 40 ?
Из первого неравенства: 40 \leqslant \dfrac{r}{5} + 7 \Rightarrow \dfrac{r}{5} \geqslant 33 \Rightarrow r \geqslant 165 .
Из второго неравенства: r \leqslant \dfrac{3 \cdot 40}{8} + 4 = 15 + 4 = 19 .
Получаем 165 \leqslant r \leqslant 19 — невозможно.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное s .
Подставим второе неравенство в первое:
s \leqslant \frac{1}{5}\left(\frac{3s}{8} + 4\right) + 7 = \frac{3s}{40} + \frac{4}{5} + 7
Умножим на 40 :
40s \leqslant 3s + 32 + 280 \Rightarrow 37s \leqslant 312 \Rightarrow s \leqslant \frac{312}{37} = 8\frac{16}{37}
Так как s кратно 8 , а ближайшее кратное 8 , не превосходящее 8\frac{16}{37} , — это само 8 , остаётся единственная возможность s = 8 .
Пример при $s = 8$. Тогда r кратно 5 , из 8 \leqslant \dfrac{r}{5} + 7 получаем r \geqslant 5 , а из r \leqslant \dfrac{3\cdot 8}{8} + 4 = 7 получаем r \leqslant 7 , откуда r = 5 .
Синие карты (кратные 5 , наибольшее = r = 5 ): -30,\ -25,\ -20,\ -15,\ -10,\ -5,\ 0,\ 5 — ровно 8 карт.
Красные карты (кратные 8 , наибольшее = 3s = 24 ): 24,\ 16,\ 8,\ 0,\ -8 — ровно 5 карт.
Все условия выполнены, значит s = 8 достигается.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 8 .

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com