На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-30$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE]
б) Может ли количество синих карт быть равным $40$?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE]
Числа на синих картах — различные кратные $5$, большие $-30$, и наибольшее из них равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и все синие числа лежат в отрезке $[-25;\, r]$.[NEWLINE]
Числа на красных картах — различные кратные $3$, большие $-30$, и наибольшее из них равно $3s$. Это число кратно $3$ автоматически, и все красные числа лежат в отрезке $[-27;\, 3s]$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE]
Кратных $5$ в $[-25;\, r]$ ровно $\dfrac{r+25}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 6$, поэтому[NEWLINE]
\[
s \leqslant \frac{r}{5} + 6
\][NEWLINE]
Кратных $3$ в $[-27;\, 3s]$ ровно $\dfrac{3s+27}{3} + 1 = s + 10$, поэтому[NEWLINE]
\[
r \leqslant s + 10
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s = 1$?[NEWLINE]
Да. Возьмём $r = 5$: синяя карта $\{5\}$ (наибольшее синее $=5=r$), красные $\{3,0,-3,-6,-9\}$ (наибольшее красное $=3=3s$).[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s = 40$?[NEWLINE]
Из первого неравенства: $40 \leqslant \dfrac{r}{5} + 6 \Rightarrow r \geqslant 170$.[NEWLINE]
Из второго: $r \leqslant 40 + 10 = 50$.[NEWLINE]
Получаем $170 \leqslant r \leqslant 50$ — невозможно.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE]
Подставим второе неравенство в первое:[NEWLINE]
\[
s \leqslant \frac{s+10}{5} + 6 = \frac{s}{5} + 8 \Rightarrow \frac{4}{5}s \leqslant 8 \Rightarrow s \leqslant 10
\][NEWLINE]
[BOLD]Пример при $s = 10$.[/BOLD] Тогда $r \geqslant 5(10-6)=20$ и $r \leqslant 20$, откуда $r=20$.[NEWLINE]
Синие (кратные $5$, наибольшее $=20$): $-25,-20,\dots,20$ — ровно $10$ карт.[NEWLINE]
Красные (кратные $3$, наибольшее $=30$): $-27,-24,\dots,30$ — ровно $20$ карт.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $10$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Решение:
Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.
Ключевые факты.
Числа на синих картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Значит кратно , и все синие числа лежат в отрезке .
Числа на красных картах — различные кратные , большие , и наибольшее из них равно . Это число кратно автоматически, и все красные числа лежат в отрезке .
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных в ровно , поэтому
Кратных в ровно , поэтому
а) Может ли ?
Да. Возьмём : синяя карта (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ).
Ответ: да.
б) Может ли ?
Из первого неравенства: .
Из второго: .
Получаем — невозможно.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное .
Подставим второе неравенство в первое:
Пример при $s = 10$. Тогда и , откуда .
Синие (кратные , наибольшее ): — ровно карт.
Красные (кратные , наибольшее ): — ровно карт.
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день