На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-40$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE]
б) Может ли количество синих карт быть равным $30$?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE]
Синие — различные кратные $5$, большие $-40$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и синие числа лежат в $[-35;\, r]$.[NEWLINE]
Красные — различные чётные, большие $-40$, наибольшее равно $2s$ (чётно автоматически), и красные числа лежат в $[-38;\, 2s]$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE]
Кратных $5$ в $[-35;\, r]$ ровно $\dfrac{r+35}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 8$, поэтому[NEWLINE]
\[
s \leqslant \frac{r}{5} + 8
\][NEWLINE]
Чётных в $[-38;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+38}{2} + 1 = s + 20$, поэтому[NEWLINE]
\[
r \leqslant s + 20
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s = 1$?[NEWLINE]
Да. Возьмём $r = 5$: синяя $\{5\}$, красные $\{2,0,-2,-4,-6\}$ (наибольшее красное $=2=2s$).[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s = 30$?[NEWLINE]
Из первого: $30 \leqslant \dfrac{r}{5} + 8 \Rightarrow r \geqslant 110$.[NEWLINE]
Из второго: $r \leqslant 50$.[NEWLINE]
Противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE]
\[
s \leqslant \frac{s+20}{5} + 8 = \frac{s}{5} + 12 \Rightarrow \frac{4}{5}s \leqslant 12 \Rightarrow s \leqslant 15
\][NEWLINE]
[BOLD]Пример при $s = 15$.[/BOLD] Тогда $r \geqslant 5(15-8)=35$ и $r \leqslant 35$, откуда $r=35$.[NEWLINE]
Синие: $-35,-30,\dots,35$ — ровно $15$ карт. Красные: $-38,-36,\dots,30$ — ровно $35$ карт.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $15$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Решение:
Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.
Ключевые факты.
Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие числа лежат в .
Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно (чётно автоматически), и красные числа лежат в .
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных в ровно , поэтому
Чётных в ровно , поэтому
а) Может ли ?
Да. Возьмём : синяя , красные (наибольшее красное ).
Ответ: да.
б) Может ли ?
Из первого: .
Из второго: .
Противоречие.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное .
Пример при $s = 15$. Тогда и , откуда .
Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день