На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-120$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли общее количество карт быть равным $6$?[NEWLINE]
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $90$ штук?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE]
Синие — различные кратные $5$, большие $-120$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и синие лежат в $[-115;\, r]$.[NEWLINE]
Красные — различные чётные, большие $-120$, наибольшее равно $2s$, и красные лежат в $[-118;\, 2s]$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE]
Кратных $5$ в $[-115;\, r]$ ровно $\dfrac{r+115}{5} + 1 = \dfrac{r}{5} + 24$, поэтому[NEWLINE]
\[
s \leqslant \frac{r}{5} + 24
\][NEWLINE]
Чётных в $[-118;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+118}{2} + 1 = s + 60$, поэтому[NEWLINE]
\[
r \leqslant s + 60
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s + r = 6$?[NEWLINE]
Да. Поскольку $r$ кратно $5$ и обе краски представлены, подходит $(s,r)=(1,5)$: синяя $\{5\}$, красные $\{2,0,-2,-4,-6\}$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r = s + 90$?[NEWLINE]
Но $r \leqslant s + 60$, противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s+r$.[NEWLINE]
\[
s \leqslant \frac{s+60}{5} + 24 = \frac{s}{5} + 36 \Rightarrow \frac{4}{5}s \leqslant 36 \Rightarrow s \leqslant 45
\][NEWLINE]
Тогда $r \leqslant s + 60 \leqslant 105$, откуда $s + r \leqslant 150$.[NEWLINE]
[BOLD]Пример при $s = 45,\ r = 105$.[/BOLD] Синие: $-115,-110,\dots,105$ — ровно $45$ карт. Красные: $-118,-116,\dots,90$ — ровно $105$ карт.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $150$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
Решение:
Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.
Ключевые факты.
Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .
Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных в ровно , поэтому
Чётных в ровно , поэтому
а) Может ли ?
Да. Поскольку кратно и обе краски представлены, подходит : синяя , красные .
Ответ: да.
б) Может ли ?
Но , противоречие.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное .
Тогда , откуда .
Пример при $s = 45,\ r = 105$. Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день