На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-60$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — на $2$. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли количество красных карт быть равным $3$?[NEWLINE]
б) Может ли количество красных карт быть равным $150$?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE]
Синие — различные кратные $3$, большие $-60$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $3$, и синие лежат в $[-57;\, r]$.[NEWLINE]
Красные — различные чётные, большие $-60$, наибольшее равно $2s$, и красные лежат в $[-58;\, 2s]$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE]
Кратных $3$ в $[-57;\, r]$ ровно $\dfrac{r+57}{3} + 1 = \dfrac{r}{3} + 20$, поэтому[NEWLINE]
\[
s \leqslant \frac{r}{3} + 20
\][NEWLINE]
Чётных в $[-58;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+58}{2} + 1 = s + 30$, поэтому[NEWLINE]
\[
r \leqslant s + 30
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Может ли $r = 3$?[NEWLINE]
Да. Возьмём $s = 1$: синяя $\{3\}$ (наибольшее синее $=3=r$), красные $\{2,0,-2\}$ (наибольшее красное $=2=2s$).[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r = 150$?[NEWLINE]
Из второго: $150 \leqslant s + 30 \Rightarrow s \geqslant 120$.[NEWLINE]
Из первого: $s \leqslant \dfrac{150}{3} + 20 = 70$.[NEWLINE]
Противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $r$.[NEWLINE]
\[
r \leqslant \frac{r}{3} + 20 + 30 \Rightarrow \frac{2}{3}r \leqslant 50 \Rightarrow r \leqslant 75
\][NEWLINE]
[BOLD]Пример при $r = 75$.[/BOLD] Тогда $s \geqslant 75-30=45$ и $s \leqslant \dfrac{75}{3}+20=45$, откуда $s=45$.[NEWLINE]
Синие: $-57,-54,\dots,75$ — ровно $45$ карт. Красные: $-58,-56,\dots,90$ — ровно $75$ карт.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $75$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество красных карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?
а) Может ли количество красных карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?
Решение:
Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.
Ключевые факты.
Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .
Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных в ровно , поэтому
Чётных в ровно , поэтому
а) Может ли ?
Да. Возьмём : синяя (наибольшее синее ), красные (наибольшее красное ).
Ответ: да.
б) Может ли ?
Из второго: .
Из первого: .
Противоречие.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное .
Пример при $r = 75$. Тогда и , откуда .
Синие: — ровно карт. Красные: — ровно карт.
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день