а) Решите уравнение $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\, 2\pi\right]$.
[BOLD]а)[/BOLD] $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$[NEWLINE] $2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0$[NEWLINE] $\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)=\sqrt{2}\cos x$[NEWLINE] $\cos x+\sin x=2\cos x$[NEWLINE] $\sin x=\cos x$[NEWLINE] $\tan x=1$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{4}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{5\pi}{4}$.
Задание 14, (№960 в банке заданий)
а) Решите уравнение 2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0 .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку \left[\dfrac{\pi}{2};\, 2\pi\right] .

Решение:

а) 2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0
2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\cos x=0
\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)=\sqrt{2}\cos x
\cos x+\sin x=2\cos x
\sin x=\cos x
\tan x=1
x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Solution image 0
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от \pi вперёд на \frac{\pi}{4} .
x_1=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}

Ответ: а) x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} ; б) \dfrac{5\pi}{4} .

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com