а) Решите уравнение $4\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$.
[BOLD]а)[/BOLD] $4\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}$[NEWLINE] $2\sqrt{2}(\sin x-\cos x)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}$[NEWLINE] $-2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{2}$[NEWLINE] $\cos x=-\frac{1}{2}$[NEWLINE] $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $-\pi$ вперёд на $\frac{\pi}{3}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{2\pi}{3}$.
Задание 14, (№962 в банке заданий)
а) Решите уравнение 4\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2} .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\pi;\, \dfrac{\pi}{2}\right] .

Решение:

а) 4\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}
2\sqrt{2}(\sin x-\cos x)-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}
-2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{2}
\cos x=-\frac{1}{2}
x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Solution image 0
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от -\pi вперёд на \frac{\pi}{3} .
x_1=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}

Ответ: а) x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} ; б) -\dfrac{2\pi}{3} .

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com