а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0$.[NEWLINE] б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{2};\, \pi\right]$.
[BOLD]а)[/BOLD] $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0$[NEWLINE] $2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$[NEWLINE] $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\sqrt{3}\sin x$[NEWLINE] $\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$[NEWLINE] $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$[NEWLINE] $x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Корень получается движением от $0$ вперёд на $\frac{\pi}{6}$.[IMAGENEWLINE] $x_1=0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{\pi}{6}$.
Задание 14, (№964 в банке заданий)
а) Решите уравнение 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0 .
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\dfrac{\pi}{2};\, \pi\right] .

Решение:

а) 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0
2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin x=0
\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\sqrt{3}\sin x
\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}
x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности:
Solution image 0
Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.
Корень получается движением от 0 вперёд на \frac{\pi}{6} .
x_1=0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}

Ответ: а) x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} ; б) \dfrac{\pi}{6} .

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com