На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $4$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $5$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $5$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE]
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $224$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE]
б) Может ли количество чисел на доске равняться $30$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1801$?
Запишем число как $10t+u$. Первая операция меняет его на $+40-5=+35$, вторая — на $-50+5=-45$. Пусть $a$ и $b$ — количества чисел, к которым применили первую и вторую операции; изменение суммы $\Delta = 35a-45b$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Условие означает $\Delta = 224$, то есть $35a-45b=224$. Левая часть делится на $5$, а $224$ — нет. Противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $35a=45b \Rightarrow 7a=9b$. Так как $\gcd(7,9)=1$, $a=9k,\ b=7k$, всего чисел $a+b=16k$. Но $30$ не кратно $16$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $16k$. Чтобы вместиться в сумму $<1801$, берём наименьшие допустимые исходные числа.[NEWLINE]
Для первой операции (десятки $\le 5$, единицы $\ge 5$) наименьшее исходное — $15$ ($15\to50$); для второй (десятки $\ge 6$, единицы $\le 4$) наименьшее — $60$ ($60\to15$); оба результата двузначные.[NEWLINE]
Минимальная сумма при $a=9k,\ b=7k$: $15\cdot9k+60\cdot7k=135k+420k=555k$.[NEWLINE]
Условие $555k<1801$ даёт $k\leqslant3$ (так как $555\cdot3=1665<1801$, а $555\cdot4=2220>1801$).[NEWLINE]
При $k=3$: $a=27$ чисел $15$ и $b=21$ число $60$, сумма $1665<1801$, чисел $48$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) Нет; б) Нет; в) 48.
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше ?
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше ?
Решение:
Запишем число как . Первая операция меняет его на , вторая — на . Пусть и — количества чисел, к которым применили первую и вторую операции; изменение суммы .
а) Условие означает , то есть . Левая часть делится на , а — нет. Противоречие.
Ответ: нет.
б) Равенство сумм: . Так как , , всего чисел . Но не кратно .
Ответ: нет.
в) Всего чисел . Чтобы вместиться в сумму ).
При : чисел и число , сумма , чисел .
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 48.
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день