На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $4$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $3$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE]
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $222$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE]
б) Может ли количество чисел на доске равняться $32$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE]
в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна $0$, и сумма чисел на доске меньше $1509$?
Первая операция меняет число на $+20-4=+16$, вторая — на $-30+4=-26$; $\Delta=16a-26b$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Нужно $16a-26b=222$, то есть $8a-13b=111$. Подходит $a=22,\ b=5$: $8\cdot22-13\cdot5=176-65=111$.[NEWLINE]
Пример: $22$ числа $14$ ($14\to30$) и $5$ чисел $40$ ($40\to14$) — все результаты двузначные.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $16a=26b \Rightarrow 8a=13b \Rightarrow a=13k,\ b=8k$, всего $21k$. Но $32$ не кратно $21$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $21k$. Наименьшие исходные: для первой операции $14$ ($14\to30$), для второй $40$ ($40\to14$).[NEWLINE]
Минимальная сумма: $14\cdot13k+40\cdot8k=182k+320k=502k<1509 \Rightarrow k\leqslant3$ ($502\cdot3=1506<1509$).[NEWLINE]
При $k=3$: $a=39$ чисел $14$ и $b=24$ числа $40$, сумма $1506<1509$, чисел $63$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) 63.
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна , и сумма чисел на доске меньше ?
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна , и сумма чисел на доске меньше ?
Решение:
Первая операция меняет число на , вторая — на ; .
а) Нужно , то есть . Подходит : .
Пример: числа () и чисел () — все результаты двузначные.
Ответ: да.
б) Равенство сумм: , всего . Но не кратно .
Ответ: нет.
в) Всего чисел . Наименьшие исходные: для первой операции (), для второй ().
Минимальная сумма: ().
При : чисел и числа , сумма , чисел .
Ответ: а) да; б) нет; в) 63.
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день