На столе лежит $N$ монет по $5$ рублей и $1000-N$ по $2$ рубля. $N$ принимает значения от $1$ до $999$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.[NEWLINE]
а) Может ли $N$ равняться $100$?[NEWLINE]
б) Может ли $N$ равняться $500$?[NEWLINE]
в) Сколько различных значений может принимать $N$?
Общая сумма $T=5N+2(1000-N)=3N+2000$. Условие должно выполняться для «худшего» набора из $300$ монет — с максимально возможным числом двурублёвых.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Случай $N\leqslant700$[/BOLD] (двурублёвых $\geqslant300$): минимальная сумма $300\cdot2=600$.[NEWLINE]
Условие: $600\geqslant\dfrac{3N+2000}{4} \Rightarrow 2400\geqslant3N+2000 \Rightarrow 3N\leqslant400 \Rightarrow N\leqslant133\frac{1}{3}$, то есть $N\leqslant133$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Случай $N>700$[/BOLD] (двурублёвых $<300$): берём все $1000-N$ двурублёвых и остальные пятирублёвыми:[NEWLINE]
минимальная сумма $=2(1000-N)+5\big(300-(1000-N)\big)=3N-1500$.[NEWLINE]
Условие: $3N-1500\geqslant\dfrac{3N+2000}{4} \Rightarrow 12N-6000\geqslant3N+2000 \Rightarrow 9N\geqslant8000 \Rightarrow N\geqslant888\frac{8}{9}$, то есть $N\geqslant889$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] $N=100\leqslant133$ — подходит (проверка: $T=2300$, четверть $575$, мин. сумма $600\geqslant575$). [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] $N=500$ не удовлетворяет ни $N\leqslant133$, ни $N\geqslant889$. [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Подходят $N=1..133$ — это $133$ значения, и $N=889..999$ — это $999-889+1=111$ значений. Всего $133+111=244$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: $244$.[/BOLD][NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) 244.
На столе лежит монет по рублей и по рубля. принимает значения от до . Известно, что если взять любые монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли равняться ?
б) Может ли равняться ?
в) Сколько различных значений может принимать ?
а) Может ли равняться ?
б) Может ли равняться ?
в) Сколько различных значений может принимать ?
Решение:
Общая сумма . Условие должно выполняться для «худшего» набора из монет — с максимально возможным числом двурублёвых.
Случай $N\leqslant700$ (двурублёвых ): минимальная сумма .
Условие: , то есть .
Случай $N\gt700$ (двурублёвых ): берём все двурублёвых и остальные пятирублёвыми:
минимальная сумма .
Условие: , то есть .
а) — подходит (проверка: , четверть , мин. сумма ). Ответ: да.
б) не удовлетворяет ни , ни . Ответ: нет.
в) Подходят — это значения, и — это значений. Всего .
Ответ: $244$.
Ответ: а) да; б) нет; в) 244.
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день