На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-60$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли общее количество карт быть равным $6$?[NEWLINE]
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $30$ штук?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE]
Синие — различные кратные $5$, большие $-60$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и синие числа лежат в $[-55;\, r]$.[NEWLINE]
Красные — различные кратные $3$, большие $-60$, наибольшее равно $3s$ (кратно $3$ всегда), и красные числа лежат в $[-57;\, 3s]$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE]
Кратных $5$ в $[-55;\, r]$ ровно $\dfrac{r+55}{5}+1=\dfrac{r}{5}+12$, поэтому $s\leqslant\dfrac{r}{5}+12$.[NEWLINE]
Кратных $3$ в $[-57;\, 3s]$ ровно $\dfrac{3s+57}{3}+1=s+20$, поэтому $r\leqslant s+20$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s+r=6$?[NEWLINE]
Да: поскольку $r$ кратно $5$ и обе краски представлены, $(s,r)=(1,5)$: синяя $\{5\}$, красные $\{3,0,-3,-6,-9\}$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r=s+30$?[NEWLINE]
Но $r\leqslant s+20$, противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s+r$.[NEWLINE]
$s\leqslant\dfrac{s+20}{5}+12=\dfrac{s}{5}+16 \Rightarrow \dfrac{4}{5}s\leqslant16 \Rightarrow s\leqslant20$, тогда $r\leqslant40$ и $s+r\leqslant60$.[NEWLINE]
[BOLD]Пример при $s=20,\ r=40$:[/BOLD] синие $-55,-50,\dots,40$ — ровно $20$ карт; красные $-57,-54,\dots,60$ — ровно $40$ карт.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $60$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
Решение:
Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.
Ключевые факты.
Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие числа лежат в .
Красные — различные кратные , большие , наибольшее равно (кратно всегда), и красные числа лежат в .
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных в ровно , поэтому .
Кратных в ровно , поэтому .
а) Может ли ?
Да: поскольку кратно и обе краски представлены, : синяя , красные .
Ответ: да.
б) Может ли ?
Но , противоречие.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное .
, тогда и .
Пример при $s=20,\ r=40$: синие — ровно карт; красные — ровно карт.
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день