На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-36$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — на $2$. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE] а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE] б) Может ли количество синих карт быть равным $50$?[NEWLINE] в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE] Числа на синих картах — различные кратные $3$, большие $-36$, и наибольшее из них равно $r$. Значит $r$ кратно $3$, и все синие числа лежат в отрезке $[-33;\, r]$ (наименьшее кратное $3$, большее $-36$, — это $-33$).[NEWLINE] Числа на красных картах — различные чётные, большие $-36$, и наибольшее из них равно $2s$ (чётно автоматически), и все красные числа лежат в отрезке $[-34;\, 2s]$ (наименьшее чётное, большее $-36$, — это $-34$).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE] Кратных $3$ в $[-33;\, r]$ ровно $\dfrac{r-(-33)}{3}+1=\dfrac{r}{3}+12$, поэтому[NEWLINE] \[ s \leqslant \frac{r}{3}+12 \][NEWLINE] Чётных в $[-34;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s-(-34)}{2}+1=s+18$, поэтому[NEWLINE] \[ r \leqslant s+18 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s=1$?[NEWLINE] Да. Возьмём $r=3$: синяя карта $\{3\}$ (наибольшее синее $=3=r$), красные $\{2,0,-2\}$ (наибольшее красное $=2=2s$). Все условия выполнены.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s=50$?[NEWLINE] Из первого неравенства: $50\leqslant\dfrac{r}{3}+12\Rightarrow\dfrac{r}{3}\geqslant38\Rightarrow r\geqslant114$.[NEWLINE] Из второго неравенства: $r\leqslant50+18=68$.[NEWLINE] Получаем $114\leqslant r\leqslant68$ — невозможно.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE] Подставим второе неравенство в первое:[NEWLINE] \[ s\leqslant\frac{s+18}{3}+12=\frac{s}{3}+18\ \Rightarrow\ \frac{2}{3}s\leqslant18\ \Rightarrow\ s\leqslant27 \][NEWLINE] [BOLD]Пример при $s=27$.[/BOLD] Тогда $r\geqslant3(27-12)=45$ и $r\leqslant27+18=45$, откуда $r=45$.[NEWLINE] Синие карты (кратные $3$, наибольшее $=r=45$): $-33,-30,\dots,45$ — ровно $\dfrac{45+33}{3}+1=27$ карт.[NEWLINE] Красные карты (чётные, наибольшее $=2s=54$): $-34,-32,\dots,54$ — ровно $\dfrac{54+34}{2}+1=45$ карт.[NEWLINE] Все условия выполнены, значит $s=27$ достигается.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $27$.
Задание 20, (№981 в банке заданий)
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее -36 . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 3 , а на всех красных — на 2 . Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1 ?
б) Может ли количество синих карт быть равным 50 ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Решение:

Обозначим через s количество синих карт, а через r — количество красных.
Ключевые факты.
Числа на синих картах — различные кратные 3 , большие -36 , и наибольшее из них равно r . Значит r кратно 3 , и все синие числа лежат в отрезке [-33;\, r] (наименьшее кратное 3 , большее -36 , — это -33 ).
Числа на красных картах — различные чётные, большие -36 , и наибольшее из них равно 2s (чётно автоматически), и все красные числа лежат в отрезке [-34;\, 2s] (наименьшее чётное, большее -36 , — это -34 ).
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных 3 в [-33;\, r] ровно \dfrac{r-(-33)}{3}+1=\dfrac{r}{3}+12 , поэтому
s \leqslant \frac{r}{3}+12
Чётных в [-34;\, 2s] ровно \dfrac{2s-(-34)}{2}+1=s+18 , поэтому
r \leqslant s+18
а) Может ли s=1 ?
Да. Возьмём r=3 : синяя карта \{3\} (наибольшее синее =3=r ), красные \{2,0,-2\} (наибольшее красное =2=2s ). Все условия выполнены.
Ответ: да.
б) Может ли s=50 ?
Из первого неравенства: 50\leqslant\dfrac{r}{3}+12\Rightarrow\dfrac{r}{3}\geqslant38\Rightarrow r\geqslant114 .
Из второго неравенства: r\leqslant50+18=68 .
Получаем 114\leqslant r\leqslant68 — невозможно.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное s .
Подставим второе неравенство в первое:
s\leqslant\frac{s+18}{3}+12=\frac{s}{3}+18\ \Rightarrow\ \frac{2}{3}s\leqslant18\ \Rightarrow\ s\leqslant27
Пример при $s=27$. Тогда r\geqslant3(27-12)=45 и r\leqslant27+18=45 , откуда r=45 .
Синие карты (кратные 3 , наибольшее =r=45 ): -33,-30,\dots,45 — ровно \dfrac{45+33}{3}+1=27 карт.
Красные карты (чётные, наибольшее =2s=54 ): -34,-32,\dots,54 — ровно \dfrac{54+34}{2}+1=45 карт.
Все условия выполнены, значит s=27 достигается.
Ответ: а) да; б) нет; в) 27 .

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com