На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-72$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE]
б) Может ли количество синих карт быть равным $50$?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE]
Синие — различные кратные $3$, большие $-72$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $3$, и синие лежат в $[-69;\, r]$.[NEWLINE]
Красные — различные чётные, большие $-72$, наибольшее равно $2s$, и красные лежат в $[-70;\, 2s]$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE]
Кратных $3$ в $[-69;\, r]$ ровно $\dfrac{r+69}{3}+1=\dfrac{r}{3}+24$, поэтому $s\leqslant\dfrac{r}{3}+24$.[NEWLINE]
Чётных в $[-70;\, 2s]$ ровно $\dfrac{2s+70}{2}+1=s+36$, поэтому $r\leqslant s+36$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s=1$?[NEWLINE]
Да: $r=3$, синяя $\{3\}$, красные $\{2,0,-2\}$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Может ли $s=50$?[NEWLINE]
Из первого: $50\leqslant\dfrac{r}{3}+24\Rightarrow r\geqslant78$. Из второго: $r\leqslant50+36=86$. Значит $78\leqslant r\leqslant86$; подходит $r=78$ (кратно $3$).[NEWLINE]
Пример: синие — все кратные $3$ от $-69$ до $78$ (ровно $\dfrac{78+69}{3}+1=50$, наибольшее $78=r$); красные — $78$ чётных от $100$ вниз до $-54$ (ровно $\dfrac{100-(-54)}{2}+1=78$, наибольшее $100=2s$). Все числа $>-72$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s$.[NEWLINE]
\[
s\leqslant\frac{s+36}{3}+24=\frac{s}{3}+36\ \Rightarrow\ \frac{2}{3}s\leqslant36\ \Rightarrow\ s\leqslant54
\][NEWLINE]
[BOLD]Пример при $s=54$.[/BOLD] Тогда $r\geqslant3(54-24)=90$ и $r\leqslant54+36=90$, откуда $r=90$.[NEWLINE]
Синие: $-69,-66,\dots,90$ — ровно $\dfrac{90+69}{3}+1=54$ карты; красные: $-70,-68,\dots,108$ — ровно $\dfrac{108+70}{2}+1=90$ карт.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) да; в) $54$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Решение:
Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.
Ключевые факты.
Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .
Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в .
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных в ровно , поэтому .
Чётных в ровно , поэтому .
а) Может ли ?
Да: , синяя , красные .
Ответ: да.
б) Может ли ?
Из первого: . Из второго: . Значит ; подходит (кратно ).
Пример: синие — все кратные от до (ровно , наибольшее ); красные — чётных от вниз до (ровно , наибольшее ). Все числа .
Ответ: да.
в) Наибольшее возможное .
Пример при $s=54$. Тогда и , откуда .
Синие: — ровно карты; красные: — ровно карт.
Ответ: а) да; б) да; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день