На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-45$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных — на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли количество красных карт быть равным $5$?[NEWLINE]
б) Может ли количество красных карт быть равным $100$?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE]
Синие — различные кратные $5$, большие $-45$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $5$, и синие лежат в $[-40;\, r]$.[NEWLINE]
Красные — различные кратные $3$, большие $-45$, наибольшее равно $3s$ (кратно $3$ всегда), и красные лежат в $[-42;\, 3s]$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Сколько кратных помещается в отрезки.[/BOLD][NEWLINE]
Кратных $5$ в $[-40;\, r]$ ровно $\dfrac{r+40}{5}+1=\dfrac{r}{5}+9$, поэтому $s\leqslant\dfrac{r}{5}+9$.[NEWLINE]
Кратных $3$ в $[-42;\, 3s]$ ровно $\dfrac{3s+42}{3}+1=s+15$, поэтому $r\leqslant s+15$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Может ли $r=5$?[NEWLINE]
Да: $s=1$, синяя $\{5\}$ (наибольшее синее $=5=r$), красная $\{3\}$ (наибольшее красное $=3=3s$).[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r=100$?[NEWLINE]
Из второго: $100\leqslant s+15\Rightarrow s\geqslant85$. Из первого: $s\leqslant\dfrac{100}{5}+9=29$. Противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $r$.[NEWLINE]
\[
r\leqslant\frac{r}{5}+9+15=\frac{r}{5}+24\ \Rightarrow\ \frac{4}{5}r\leqslant24\ \Rightarrow\ r\leqslant30
\][NEWLINE]
[BOLD]Пример при $r=30$.[/BOLD] Тогда $s\geqslant30-15=15$ и $s\leqslant\dfrac{30}{5}+9=15$, откуда $s=15$.[NEWLINE]
Синие: $-40,-35,\dots,30$ — ровно $\dfrac{30+40}{5}+1=15$ карт; красные: $-42,-39,\dots,45$ — ровно $\dfrac{45+42}{3}+1=30$ карт.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $30$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество красных карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?
а) Может ли количество красных карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество красных карт может быть на столе?
Решение:
Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.
Ключевые факты.
Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в .
Красные — различные кратные , большие , наибольшее равно (кратно всегда), и красные лежат в .
Сколько кратных помещается в отрезки.
Кратных в ровно , поэтому .
Кратных в ровно , поэтому .
а) Может ли ?
Да: , синяя (наибольшее синее ), красная (наибольшее красное ).
Ответ: да.
б) Может ли ?
Из второго: . Из первого: . Противоречие.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное .
Пример при $r=30$. Тогда и , откуда .
Синие: — ровно карт; красные: — ровно карт.
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день