На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-72$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — на $2$. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли общее количество карт быть равным $4$?[NEWLINE]
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $60$ штук?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
Обозначим через $s$ количество синих карт, а через $r$ — количество красных.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ключевые факты.[/BOLD][NEWLINE]
Синие — различные кратные $3$, большие $-72$, наибольшее равно $r$. Значит $r$ кратно $3$, и синие лежат в $[-69;\, r]$, откуда $s\leqslant\dfrac{r}{3}+24$.[NEWLINE]
Красные — различные чётные, большие $-72$, наибольшее равно $2s$, и красные лежат в $[-70;\, 2s]$, откуда $r\leqslant s+36$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Может ли $s+r=4$?[NEWLINE]
Да: поскольку $r$ кратно $3$ и обе краски представлены, $(s,r)=(1,3)$: синяя $\{3\}$, красные $\{2,0,-2\}$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Может ли $r=s+60$?[NEWLINE]
Но $r\leqslant s+36$, противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Наибольшее возможное $s+r$.[NEWLINE]
\[
s\leqslant\frac{s+36}{3}+24=\frac{s}{3}+36\ \Rightarrow\ \frac{2}{3}s\leqslant36\ \Rightarrow\ s\leqslant54
\][NEWLINE]
Тогда $r\leqslant s+36\leqslant90$, откуда $s+r\leqslant144$.[NEWLINE]
[BOLD]Пример при $s=54,\ r=90$:[/BOLD] синие $-69,\dots,90$ (ровно $54$), красные $-70,\dots,108$ (ровно $90$). Всего $144$ карты.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $144$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — на . Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
а) Может ли общее количество карт быть равным ?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?
Решение:
Обозначим через количество синих карт, а через — количество красных.
Ключевые факты.
Синие — различные кратные , большие , наибольшее равно . Значит кратно , и синие лежат в , откуда .
Красные — различные чётные, большие , наибольшее равно , и красные лежат в , откуда .
а) Может ли ?
Да: поскольку кратно и обе краски представлены, : синяя , красные .
Ответ: да.
б) Может ли ?
Но , противоречие.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное .
Тогда , откуда .
Пример при $s=54,\ r=90$: синие (ровно ), красные (ровно ). Всего карты.
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день