На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $1200-N$ по $5$ рублей. $N$ может принимать значения от $1$ до $1199$. Известно, что если взять любые $500$ монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.[NEWLINE]
а) Может ли $N$ равняться $400$?[NEWLINE]
б) Может ли $N$ равняться $600$?[NEWLINE]
в) Сколько различных значений может принимать $N$?
Общая сумма всех монет: $T=2N+5(1200-N)=6000-3N$. Условие должно выполняться для «худшего» набора из $500$ монет — с максимально возможным числом двурублёвых (они дешевле).[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Случай $N\geqslant500$[/BOLD] (двурублёвых хватает на весь набор): минимальная сумма $=500\cdot2=1000$.[NEWLINE]
\[
1000\geqslant\frac{6000-3N}{4}\ \Rightarrow\ 4000\geqslant6000-3N\ \Rightarrow\ 3N\geqslant2000\ \Rightarrow\ N\geqslant666\frac{2}{3},
\][NEWLINE]
то есть $N\geqslant667$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Случай $N<500$[/BOLD] (берём все $N$ двурублёвых, остальное пятирублёвыми): минимальная сумма $=2N+5(500-N)=2500-3N$.[NEWLINE]
\[
2500-3N\geqslant\frac{6000-3N}{4}\ \Rightarrow\ 10000-12N\geqslant6000-3N\ \Rightarrow\ 9N\leqslant4000\ \Rightarrow\ N\leqslant444\frac{4}{9},
\][NEWLINE]
то есть $N\leqslant444$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] $N=400\leqslant444$ — подходит. Проверка: $T=6000-1200=4800$, четверть $1200$; мин. сумма $2500-1200=1300\geqslant1200$. [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] $N=600$ не удовлетворяет ни $N\leqslant444$, ни $N\geqslant667$. [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Подходят $N=1..444$ — это $444$ значения, и $N=667..1199$ — это $1199-667+1=533$ значения. Всего $444+533=977$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] $977$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) да; в) $977$.
На столе лежит монет по рубля и по рублей. может принимать значения от до . Известно, что если взять любые монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.
а) Может ли равняться ?
б) Может ли равняться ?
в) Сколько различных значений может принимать ?
а) Может ли равняться ?
б) Может ли равняться ?
в) Сколько различных значений может принимать ?
Решение:
Общая сумма всех монет: . Условие должно выполняться для «худшего» набора из монет — с максимально возможным числом двурублёвых (они дешевле).
Случай $N\geqslant500$ (двурублёвых хватает на весь набор): минимальная сумма .
то есть .
Случай $N\lt500$ (берём все двурублёвых, остальное пятирублёвыми): минимальная сумма .
то есть .
а) — подходит. Проверка: , четверть ; мин. сумма . Ответ: да.
б) не удовлетворяет ни , ни . Ответ: нет.
в) Подходят — это значения, и — это значения. Всего .
Ответ: .
Ответ: а) да; б) да; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день