На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-72$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $3$, а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.[NEWLINE]
а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?[NEWLINE]
б) Может ли количество синих карт быть равным $50$?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Общая сумма: $T=2N+5(1000-N)=5000-3N$. Рассматриваем худший набор из $300$ монет.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Случай $N\geqslant300$:[/BOLD] минимальная сумма $=300\cdot2=600$.[NEWLINE]
\[
600\geqslant\frac{5000-3N}{4}\ \Rightarrow\ 2400\geqslant5000-3N\ \Rightarrow\ 3N\geqslant2600\ \Rightarrow\ N\geqslant866\frac{2}{3},
\][NEWLINE]
то есть $N\geqslant867$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Случай $N<300$:[/BOLD] минимальная сумма $=2N+5(300-N)=1500-3N$.[NEWLINE]
\[
1500-3N\geqslant\frac{5000-3N}{4}\ \Rightarrow\ 6000-12N\geqslant5000-3N\ \Rightarrow\ 9N\leqslant1000\ \Rightarrow\ N\leqslant111\frac{1}{9},
\][NEWLINE]
то есть $N\leqslant111$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] $100\leqslant111$ — да. [BOLD]б)[/BOLD] $500$ не подходит — нет.[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] $N=1..111$ — $111$ значений; $N=867..999$ — $999-867+1=133$ значения. Всего $111+133=244$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) $244$.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее . При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на , а на всех красных — чётные. Известно, что самое большое число на красной карте равно удвоенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
а) Может ли количество синих карт быть равным ?
б) Может ли количество синих карт быть равным ?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
Решение:
Общая сумма: . Рассматриваем худший набор из монет.
Случай $N\geqslant300$: минимальная сумма .
то есть .
Случай $N\lt300$: минимальная сумма .
то есть .
а) — да. б) не подходит — нет.
в) — значений; — значения. Всего .
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день