На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $2$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE]
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $128$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE]
б) Может ли количество чисел на доске равняться $25$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1198$?
Запишем число как $10t+u$. Первая операция меняет его на $+20-5=+15$, вторая — на $-20+2=-18$. Пусть $a$ и $b$ — количества применений первой и второй операций; изменение суммы $\Delta=15a-18b$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Нужно $\Delta=128$, то есть $15a-18b=128$. Левая часть делится на $3$, а $128$ — нет. Противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $15a=18b\Rightarrow5a=6b\Rightarrow a=6k,\ b=5k$, всего чисел $11k$. Но $25$ не кратно $11$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $11k$. Наименьшие допустимые исходные: для первой операции $15$ ($15\to30$), для второй $30$ ($30\to12$). Минимальная сумма $=15\cdot6k+30\cdot5k=90k+150k=240k$.[NEWLINE]
Условие $240k<1198$ даёт $k\leqslant4$ (так как $240\cdot4=960<1198$, а $240\cdot5=1200>1198$).[NEWLINE]
При $k=4$: $a=24$ числа $15$ и $b=20$ чисел $30$, сумма $960<1198$, чисел $44$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] $44$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) ноу; б) нет; в) $44$.
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше ?
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше ?
Решение:
Запишем число как . Первая операция меняет его на , вторая — на . Пусть и — количества применений первой и второй операций; изменение суммы .
а) Нужно , то есть . Левая часть делится на , а — нет. Противоречие.
Ответ: нет.
б) Равенство сумм: , всего чисел . Но не кратно .
Ответ: нет.
в) Всего чисел . Наименьшие допустимые исходные: для первой операции (), для второй (). Минимальная сумма .
Условие ).
При : числа и чисел , сумма , чисел .
Ответ: .
Ответ: а) ноу; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день