На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $7$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $6$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $8$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $8$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE]
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $124$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE]
б) Может ли количество чисел на доске равняться $50$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE]
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше $3210$?
Первая операция меняет число на $+70-6=+64$, вторая — на $-80+8=-72$; $\Delta=64a-72b$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а)[/BOLD] Нужно $64a-72b=124$, то есть после деления на $4$: $16a-18b=31$. Левая часть чётна, правая нечётна. Противоречие.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $64a=72b\Rightarrow8a=9b\Rightarrow a=9k,\ b=8k$, всего $17k$. Но $50$ не кратно $17$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $17k$. Чтобы сумма превысила $3210$ при наименьшем числе чисел, берём наибольшие допустимые исходные: для первой операции это $29$ ($29\to80$), для второй — $91$ ($91\to19$). Максимальная сумма при $a=9k,\ b=8k$: $29\cdot9k+91\cdot8k=261k+728k=989k$.[NEWLINE]
Необходимо $989k>3210\Rightarrow k>3\frac{63}{989}$, то есть $k\geqslant4$ (при $k=3$ максимум $2967<3210$).[NEWLINE]
При $k=4$: $a=36$ чисел $29$ и $b=32$ числа $91$, сумма $3956>3210$, чисел $68$.[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: $68$.[/BOLD][NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] а) нет; б) нет; в) $68$.
На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше ?
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше ?
Решение:
Первая операция меняет число на , вторая — на ; .
а) Нужно , то есть после деления на : . Левая часть чётна, правая нечётна. Противоречие.
Ответ: нет.
б) Равенство сумм: , всего . Но не кратно .
Ответ: нет.
в) Всего чисел . Чтобы сумма превысила при наименьшем числе чисел, берём наибольшие допустимые исходные: для первой операции это (), для второй — (). Максимальная сумма при : .
Необходимо , то есть (при максимум , чисел .
Ответ: $68$.
Ответ: а) нет; б) нет; в) .
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день