Заметим, что оба уравнения не меняются при замене $x \to -x$ (переменная $x$ входит лишь через $|x|$ и $x^2$). Поэтому вместе с парой $(x;\,y)$ решением является и $(-x;\,y)$. Значит, единственное решение возможно лишь при $x = 0$ — с этого и начинаем.[NEWLINE] Если $x = 0$:[NEWLINE] $5\cdot 2^0 + 6\cdot|0| + 7 = 5y + 6\cdot 0^2 - a \;\Rightarrow\; $$12 = 5y - a \;\Rightarrow\; a = 5y - 12,$[NEWLINE] а из второго уравнения $y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$. Отсюда два претендента: [NEWLINE] $ \begin{cases} a = 5\cdot 1 - 12 \\ y = 1 \end{cases} \Rightarrow a = -7 \quad (1), \qquad $ $ \begin{cases} a = 5\cdot(-1) - 12 \\ y = -1 \end{cases} \Rightarrow a = -17 \quad (2). $[NEWLINE] При любом другом $a$ единственного решения быть не может. Оба претендента проверяем, так как это необходимое условие, но не достаточное.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Проверка (1): $a = -7$. Система принимает вид $ \begin{cases} 5\left(2^{|x|} - y\right) = 6\left(x^2 - |x|\right) & (3)\\[2pt] x^2 + y^2 = 1 & (4) \end{cases} $[NEWLINE] Исследуем (3) при $x \in [-1;\,1]$ и $y \in [-1;\,1]$, т.к. (4) — окружность радиуса $1$.[NEWLINE] - $x^2 - |x| \le 0$, поскольку при $x \in [-1;\,1]$ имеем $x^2 \le |x|$ $\Rightarrow\; 6\left(x^2 - |x|\right) \le 0$;[NEWLINE] - $|x| \in [0;\,1] \Rightarrow 2^{|x|} \in [1;\,2]$; из $-1 \le y \le 1$ следует $-1 \le -y \le 1$, значит[NEWLINE] $1 - 1 \le 2^{|x|} - y \le 2 + 1 \;\Rightarrow\; 0 \le 2^{|x|} - y \le 3 \;\Rightarrow\; 5\left(2^{|x|} - y\right) \ge 0.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Вывод: неотрицательная часть равна неположительной только при нуле слева и справа:[NEWLINE] $ \begin{cases} 2^{|x|} - y = 0,\\ x^2 - |x| = 0 \end{cases} $ $\;\Rightarrow\; |x|\left(|x| - 1\right) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \ \text{или}\ x = \pm 1.$[NEWLINE] - $x = 0 \Rightarrow y = 2^0 = 1$; точка $(0;\,1)$ лежит на окружности: $0^2 + 1^2 = 1$. ✓[NEWLINE] - $x = \pm 1 \Rightarrow y = 2^1 = 2 \notin [-1;\,1]$ — таких решений нет.[NEWLINE] Итак, при $a = -7$ система имеет ровно одно решение $(0;\,1)$ $\Rightarrow a = -7$ подходит. ✓[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Проверка (2): $a = -17$. Первое уравнение равносильно $5y = 5\cdot 2^{|x|} - 6x^2 + 6|x| - 10 \;\Leftrightarrow\; $$ y = 2^{|x|} - \frac{6}{5}x^2 + \frac{6}{5}|x| - 2 $[NEWLINE] Кандидат $a = -17$ «родился» из точки $(0;\,-1)$, поэтому она заведомо решение: $f(0) = 1 - 2 = -1$ и $0^2 + (-1)^2 = 1$. Искать все $y$ не обязательно — достаточно предъявить вторую точку. Возьмём точку, где окружность «заканчивается»: $(1;\,0)$:[NEWLINE] $f(1) = 2 - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 = 0, \qquad 1^2 + 0^2 = 1,$[NEWLINE] т.е. $(1;\,0)$ — второе решение (а по чётности и $(-1;\,0)$). Решений больше одного $\Rightarrow a = -17$ — посторонний кандидат.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Замечание.[/BOLD] Это не случайность: при $G(t) = t^2 + f(t)^2 - 1$, $t = |x| \in [0;\,1]$, имеем $G\!\left(\tfrac12\right) < 0$ (график внутри круга) и $G(1) = f(1)^2 \ge 0$, так что второе пересечение с окружностью существовало бы даже без совпадения $f(1) = 0$ — по теореме о промежуточном значении. Точка $(1;\,0)$ просто сэкономила время.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a = -7$.