$(x+1)a^{2}+(x^{3}+x+2)a-x^{4}+x^{3}+2x^{2}=0$[NEWLINE] $-x^{4}+x^{3}+2x^{2}=-x^{2}(x^{2}-x-2)=-x^{2}(x+1)(x-2)$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Разложим $x^{3}+x+2$:[NEWLINE] По теореме Безу проверим $x=-1$: $\ (-1)^{3}+(-1)+2=-1-1+2=0$.[NEWLINE] Тогда $x^{3}+x+2=(x+1)(x^{2}-x+2)$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $(x+1)a^{2}+(x+1)(x^{2}-x+2)a-x^{2}(x+1)(x-2)=0$[NEWLINE] $(x+1)\big(a^{2}+(x^{2}-x+2)a+x^{2}(2-x)\big)=0$[NEWLINE] [BOLD]Квадратный трёхчлен относительно $a$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Дискриминант[/BOLD] (здесь $u=x^{2}$, $v=x+2$, и $D=(u+v)^{2}-4uv=(u-v)^{2}$):[NEWLINE] $D=\big(x^{2}+(2-x)\big)^{2}-4x^{2}(2-x)=$$x^{4}+2x^{2}(2-x)+(2-x)^{2}-4x^{2}(2-x)=$$x^{4}-2x^{2}(2-x)+(2-x)^{2}=$$\big(x^{2}-(2-x)\big)^{2}=$$(x^{2}+x-2)^{2}=$$(x+2)^{2}(x-1)^{2}$[NEWLINE] $a_{1,2}=\dfrac{-(x^{2}-x+2)\pm(x^{2}+x-2)}{2}$:[NEWLINE] \[ a_{1}=\frac{-x^{2}+x-2+x^{2}+x-2}{2}=\frac{2x-4}{2}=x-2 \][NEWLINE] \[ a_{2}=\frac{-x^{2}+x-2-x^{2}-x+2}{2}=\frac{-2x^{2}}{2}=-x^{2} \][NEWLINE] [BOLD]Совокупность:[/BOLD] $\left[\begin{array}{l}x=-1\\ a=x-2\\ a=-x^{2}\end{array}\right.$[NEWLINE] [image:0:right][BOLD]Графический метод в системе $Oxa$.[/BOLD] Множество решений на плоскости $(x,a)$ — это объединение трёх линий: вертикальной прямой $x=-1$, параболы $a=-x^{2}$ и прямой $a=x-2$. Число решений исходного уравнения при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.[IMAGENEWLINE] Теперь ищем необходимые значения $a$. Исходя из графика, решением будет $a \in (II;+\infty) \cup \{I\}$[IMAGENEWLINE] Тогда $a\in(0;+\infty)\cup\{-1\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(0;+\infty)\cup\{-1\}$.