$(x+1)a^{2}+(x^{3}+2x^{2}+x)a+x^{4}+2x^{3}-2x-1=0$[NEWLINE] Разложим $x^{4}+2x^{3}-2x-1$: по Безу корень $x=-1$ ($1-2+2-1=0$); делением получаем $(x+1)(x^{3}+x^{2}-x-1)=(x+1)^{2}(x^{2}-1)=(x-1)(x+1)^{3}$.[NEWLINE] $x^{3}+2x^{2}+x=x(x+1)^{2}$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $(x+1)a^{2}+x(x+1)^{2}a+(x-1)(x+1)^{3}=0$[NEWLINE] $(x+1)\big(a^{2}+x(x+1)a+(x-1)(x+1)^{2}\big)=0$[NEWLINE] [BOLD]Квадратный трёхчлен относительно $a$.[/BOLD][NEWLINE] [BOLD]Дискриминант[/BOLD] ($u=x^{2}-1$, $v=x+1$, $D=$):[NEWLINE] $D=\big((x^{2}-1)+(x+1)\big)^{2}-4(x^{2}-1)(x+1)=$$(x^{2}-1)^{2}-2(x^{2}-1)(x+1)+(x+1)^{2}=$$\big((x^{2}-1)-(x+1)\big)^{2}=$$(x^{2}-x-2)^{2}=$$(x-2)^{2}(x+1)^{2}$[NEWLINE] $a_{1,2}=\dfrac{-(x^{2}+x)\pm(x^{2}-x-2)}{2}$:[NEWLINE] \[ a_{1}=\frac{-x^{2}-x+x^{2}-x-2}{2}=\frac{-2x-2}{2}=-x-1 \][NEWLINE] \[ a_{2}=\frac{-x^{2}-x-x^{2}+x+2}{2}=\frac{-2x^{2}+2}{2}=1-x^{2} \][NEWLINE] [BOLD]Совокупность:[/BOLD] $\left[\begin{array}{l}x=-1\\ a=-x-1\\ a=1-x^{2}\end{array}\right.$[NEWLINE] [image:0:right][BOLD]Графический метод в системе $Oxa$.[/BOLD] Множество решений на плоскости $(x,a)$ — это объединение трёх линий: вертикальной прямой $x=-1$, параболы $a=1-x^{2}$ и прямой $a=-x-1$. Число решений исходного уравнения при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с этим объединением.[IMAGENEWLINE] Теперь ищем необходимые значения $a$. Исходя из графика, решением будет $a \in \{I\} \cup (II;+\infty)$[IMAGENEWLINE] Тогда $a\in(1;+\infty)\cup\{0\}$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(1;+\infty)\cup\{0\}$.