а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
СтатГрад №2510211 2025
Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть
-
Задание 13а) Решите уравнение $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-\sin(x-\pi)=0.$[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-8\pi;-5\pi].$а) $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2};$ $\sin(x-\pi)=-\sin x$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $\cos\frac{x}{2}+\sin x=0$[NEWLINE] Заметим, что $\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$[NEWLINE] $\cos\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$[NEWLINE] $\cos\frac{x}{2}(1+2\sin\frac{x}{2})=0$[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\cos\frac{x}{2}=0$[NEWLINE]$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k$[NEWLINE]$x=\pi+2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$[COLUMN-BREAK]$1+2\sin\frac{x}{2}=0$[NEWLINE]$\sin\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}$[NEWLINE]$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n; \quad \frac{x}{2}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$[NEWLINE]$x=-\frac{\pi}{3}+4\pi n; \quad x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi n$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] б) Не совсем ЕГЭшного уровня (на момент 2025-2026 года) промежуток, да и сами корни и потому отбирать с помощью тригонометрической окружности — не самый лучший выбор, на мой взгляд. Давайте просто прибавлять периоды и смотреть, подходит или нет:[NEWLINE] $I.$ Возьмём $x=\pi+2\pi k:$ [NEWLINE] 1) $k=-4\rightarrow x=\pi-8\pi=-7\pi$ — подходит[NEWLINE] 2) $k=-3\rightarrow x=\pi-6\pi=-5\pi$ — подходит[NEWLINE] 3) $k=-5\rightarrow x=\pi-10\pi=-9\pi$ — не подходит (меньше $-8\pi$)[NEWLINE] $II.$ Возьмём $x=-\frac{\pi}{3}+4\pi n:$[NEWLINE] 1) $n=-2 \rightarrow x=-\frac{\pi}{3}-8\pi=-\frac{25\pi}{3}$ — не подходит ($-\frac{25\pi}{3} < -8\pi$)[NEWLINE] 2) $n=-1 \rightarrow x=-\frac{\pi}{3}-4\pi=-\frac{13\pi}{3}$ — не подходит, так как $-\frac{13\pi}{3} > -5\pi$[NEWLINE] $III.$ Возьмём $x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi n:$[NEWLINE] 1) $n=-2 \rightarrow x=-\frac{5\pi}{3}-8\pi=-\frac{29\pi}{3}$ — не подходит (меньше $-8\pi$)[NEWLINE] 2) $n=-1 \rightarrow x=-\frac{5\pi}{3}-4\pi=-\frac{17\pi}{3}$ — подходит, так как $-8\pi < -\frac{17\pi}{3} < -5\pi$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\pi+2\pi k; \quad x=-\frac{\pi}{3}+4\pi n; \quad x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$[NEWLINE] б) $x=-7\pi;\ x=-5\pi;\ x=-\frac{17\pi}{3}.$
-
Задание 14В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что 2A₁M = 3MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.[NEWLINE] а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.[NEWLINE] б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 20.[NEWLINE][image:0:right]а) Заметим, что данная треугольная призма [BOLD]правильная[/BOLD]. Это значит, что $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний. Единственный перпендикуляр, который может проводиться в точку $K$ — высота $C_1K.$ [IMAGENEWLINE] Также вспомним, что основания и боковые грани перпендикулярны, откуда следует, что $C_1K \perp AA_1.$ [IMAGENEWLINE] То есть мы имеем $C_1K \perp A_1B_1$ и $C_1K \perp AA_1.$ Из этого следует, что $C_1K$ будет перпендикулярно плоскости, что прописано в условии. Следовательно, $C_1 \in C_1KM,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] б) Заметим, что $C_1K \perp KM,$ потому что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Значит $\triangle C_1KM$ — прямоугольный, а значит его площадь будет вычисляться по формуле $S=\frac{1}{2}C_1K\cdot KM.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, нам необходимо найти его катеты. Знаем, что все ребра по $20$, а также $A_1K=KB_1$ и $2A_1M=3MA.$ Из этого будет следовать, что[IMAGENEWLINE] $A_1K=KB_1=20,$ $A_1M=12,$ $AM=8.$ Тогда:[IMAGENEWLINE] 1) $C_1K=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{(20-10)(20+10)}=$$\sqrt{10\cdot30}=10\sqrt{3}.$[IMAGENEWLINE] 2) $KM=\sqrt{10^2+12^2}=\sqrt{2^2(5^2+6^2)}=2\sqrt{61}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $S=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{3}\cdot2\sqrt{61}=10\sqrt{183}.$В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что 2A₁M = 3MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.
а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 20. -
Задание 15Решите неравенство $\log_2(6^{\log_6(6-x)}+26^{\log_{26}(x+26)})-3 \geq \log_6(x^2-5x)$$\log_2(6^{\log_6(6-x)}+26^{\log_{26}(x+26)})-3 \geq \log_6(x^2-5x)$[NEWLINE] Рассмотрим ограничения:[NEWLINE] \(\begin{cases} 6^{\log_6(6-x)}+26^{\log_{26}(x+26)} \gt 0 \\ 6-x \gt 0 \\ x+26 \gt 0 \\ x^2-5x \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} 6-x+x+26 \gt 0 \\ x \lt 6 \\ x \gt -26 \\ x(x-5) \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} 32 \gt 0 \rightarrow x\in \mathbb{R}\\ x \lt 6 \\ x \gt -26 \\ x(x-5) \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} -26 \lt x \lt 6 \\ \left[\begin{aligned} & x \lt 0 \\& x \gt 5 \\\end{aligned}\right. \end{cases}\)[NEWLINE] Нанесем на числовую прямую и пересечём решения:[NEWLINE] [image:2:right] $x \in (-26;0) \cup (5;6)$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\log_2(6^{\log_6(6-x)}+26^{\log_{26}(x+26)})-3 \geq \log_6(x^2-5x)$[IMAGENEWLINE] $\log_2(6-x+x+26)-3\geq\log_6(x^2-5x)$[IMAGENEWLINE] $\log_{2}32-3\geq\log_6(x^2-5x)$[IMAGENEWLINE] $5-3\geq\log_6(x^2-5x)$[IMAGENEWLINE] $2 \geq \log_6(x^2-5x)$[IMAGENEWLINE] $6 \gt 1 \rightarrow$ функция возрастает[IMAGENEWLINE] $36 \geq x^2-5x$[IMAGENEWLINE] $x^2-5x - 36 \leq 0$[IMAGENEWLINE] Это квадратичная функция, график — парабола, нули в точках $x=-4$ и $x=9.$ Нанесём на числовую прямую и пересечём с ограничениями:[IMAGENEWLINE] [image:3:right] Обращаю ваше внимание на то, что $x=9$ не входит в ограничения, а значит и не войдёт в итоговый ответ.[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x\in[-4;0) \cup (5;6)$Решите неравенство
-
Задание 1615 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 21,6 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего месяца; [NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; [NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; [NEWLINE] — к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен. [NEWLINE] Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?Обозначим: [NEWLINE] $S = 21{,}6$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $r = 6% = 0{,}06$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\frac{S}{36}$ — фиксированная часть долга, которая гасится каждый месяц.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S + Sr & Sr + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{35}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} + S \cdot \dfrac{35}{36}r & S \cdot \dfrac{35}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{34}{36} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 25 & S \cdot \dfrac{12}{36} & S \cdot \dfrac{12}{36} + S \cdot \dfrac{12}{36}r & S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{11}{36} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 36 & \dfrac{S}{36} & \dfrac{S}{36} + \dfrac{S}{36}r & \dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Заметим, что выплаты образуют арифметическую прогрессию. Так как необходимо найти сумму выплат за 2029 год (25–36 месяцы), то составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{\left(S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36}\right) + \left(\dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36}\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{(12r + 1) + (r + 1)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{13r + 2}{2} \cdot 12 = \frac{S}{36} \cdot 6 \cdot (13r + 2) \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{6} \cdot (13r + 2) \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $S = 21{,}6$, $r = 0{,}06$:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{21{,}6}{6} \cdot (13 \cdot 0{,}06 + 2) = 3{,}6 \cdot (0{,}78 + 2) = 3{,}6 \cdot 2{,}78 = 10{,}008 \text{ млн} \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]10,00815 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 21,6 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году? -
Задание 17В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.[NEWLINE] а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.[NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $6\sqrt{6}$, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle ABC = 105^\circ$.[NEWLINE][image:0:left]а) $BN$ — диаметр (по условию), $\angle BKN$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $BN \rightarrow \angle BKN=90^\circ$[IMAGENEWLINE] Так как $\angle BHA =90^\circ,$ так как $BH$ — высота и два упомянутых угла — соответственные углы при пересечении двух прямых $AC$ и $KN$ третьей прямой $BK,$ то из этого следует, что $AC||KN,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:left]б) $R=6\sqrt{6}, \angle BAC=30^\circ, \angle ABC=105^\circ.$[IMAGENEWLINE] Из теоремы о сумме углов треугольников:[IMAGENEWLINE] $\angle ACB=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ.$[IMAGENEWLINE] Проведем доп. построение $AN$ и заметим, что $\angle BNA=\angle BCA=45^\circ$ как вписанные углы, опирающиеся на одну окружность.[IMAGENEWLINE] Также заметим, что $\angle CAN=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$ так как $\angle BAN$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр.[IMAGENEWLINE] Тогда в $\triangle AMN:$ $\angle MNA=30^\circ,$ $\cos30^\circ=\frac{MN}{AN}\rightarrow MN=AN\cos30^\circ.$ Значит нашей задачей теперь является найти $AN.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Вспомним о $BAN:$ у него оба угла по $45^\circ.$ Из этого следует его равнобедренность. Значит $AB=AN.$[IMAGENEWLINE] Теперь рассмотрим теорему синусов для вписанного треугольника $\triangle ABC:$[IMAGENEWLINE] $\frac{AB}{\sin45^\circ}=2R \rightarrow AB=2R\sin45^\circ$[IMAGENEWLINE] $AB=2\cdot6\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{12}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $MN=6\sqrt{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{36}=18.$В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен , , .
