СтатГрад №2500110 2026

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • [image:0:right]Больший угол равнобедренного треугольника равен 148°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
    Треугольник равнобедренный => углы при основании равны. Так как сумма углов равна 180°, то на оставшиеся два угла приходится $180^\circ-148^\circ=32^\circ.$[NEWLINE] Так как они оба равны, то равны они $\frac{32^\circ}{2}=16^\circ.
    Задание 1
    Solution image 0
    Больший угол равнобедренного треугольника равен 148°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
  • Найдите длину вектора $\vec{a}(-5;-12).$
    Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора для координат вектора, поэтому [NEWLINE] $|\vec{a}|=\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}=13.$
    Задание 2
    Найдите длину вектора \vec{a}(-5;-12).
  • [image:0:right]Диагональ куба равна 11. Найдите площадь его поверхности.
    Диагональ куба можно найти по формуле $d=a\sqrt{3}\rightarrow a=\frac{d}{\sqrt3}.$[NEWLINE] При этом, площадь поверхности — площадь шести одинаковых граней (квадратов). [NEWLINE] $S_{пов}=6a^2.$[NEWLINE] $S_{пов}=6\cdot(\frac{11}{\sqrt3})^2=242.$
    Задание 3
    Solution image 0
    Диагональ куба равна 11. Найдите площадь его поверхности.
  • В сборнике билетов по истории всего 60 билетов, в 12 из них встречается вопрос по разделу "Пётр Первый". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу "Пётр Первый".
    Вероятность простейшего события равна отношению числа благоприятных исходов событий к числу всех равновозможных исходов событий:[NEWLINE] $P=\frac{12}{60}=0,2.$
    Задание 4
    В сборнике билетов по истории всего 60 билетов, в 12 из них встречается вопрос по разделу "Пётр Первый". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу "Пётр Первый".
  • В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того,что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
    Вероятностью независимых событий является произведение вероятностей этих событий. В данном случае необходимо, чтобы все три продавца были заняты. Зная то, что вероятность их занятости независимая, тогда она будет равна [NEWLINE] $P=0,7\cdot0,7\cdot0,7=0,343.$
    Задание 5
    В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того,что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
  • Найдите корень уравнения $\dfrac{1}{4x - 1} = \dfrac{1}{12}.$
    $\dfrac{1}{4x - 1} = \dfrac{1}{12}.$[NEWLINE] По свойству пропорции,[NEWLINE] $4x - 1 = 12$[NEWLINE] $4x = 12 + 1 \mid :4$[NEWLINE] $x = \dfrac{13}{4} = 3{,}25.$
    Задание 6
    Найдите корень уравнения \dfrac{1}{4x - 1} = \dfrac{1}{12}.
  • Найдите значение выражения $\left(\sqrt{2\frac{2}{5}} - \sqrt{5\frac{2}{5}}\right) : \sqrt{\dfrac{3}{125}}$.
    $ \left(\sqrt{2\frac{2}{5}} - \sqrt{5\frac{2}{5}}\right) : \sqrt{\dfrac{3}{125}} = $$ \left(\sqrt{\dfrac{12}{5}} - \sqrt{\dfrac{27}{5}}\right) \cdot \sqrt{\dfrac{125}{3}} = $ $ \sqrt{\dfrac{12}{5} \cdot \dfrac{125}{3}} - \sqrt{\dfrac{27}{5} \cdot \dfrac{125}{3}} =$$ \sqrt{\dfrac{12 \cdot 25}{3}} - \sqrt{\dfrac{27 \cdot 25}{3}} = $ $ \sqrt{4 \cdot 25} - \sqrt{9 \cdot 25} = $$\sqrt{100} - \sqrt{225} = 10 - 15 = -5 $
    Задание 7
    Найдите значение выражения \left(\sqrt{2\frac{2}{5}} - \sqrt{5\frac{2}{5}}\right) : \sqrt{\dfrac{3}{125}} .
  • На рисунке изображён график функции y=f(x) =определённой на интервале (−5; 7). Найдите количество точек экстремума функции f(x).[image:0]
    Заметим, что нарисован график функции. Экстремумы, для функции, это точки, в которых график функции меняет свой промежуток возрастания на промежуток убывания, и наоборот. Таких точек всего 8 (см. рис.).[image:1]
    Задание 8
    На рисунке изображён график функции y=f(x) =определённой на интервале (−5; 7). Найдите количество точек экстремума функции f(x).Solution image 0
  • Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой \[ H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha), \] где $v_0 = 28$ м/с — начальная скорость мячика, $g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 18,6 м на расстоянии 1 м?
    Из текста выясняем, что $H=18,6+1=19,6$.[NEWLINE] Выразим (это гораздо удобнее) $\alpha:$ [NEWLINE] $ H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha)|\cdot\frac{4g}{v_0^2}$[NEWLINE] $\frac{4gH}{v_0^2}=1-\cos2\alpha$[NEWLINE] $\cos2\alpha=1-\frac{4gH}{v_0^2}$[NEWLINE] $2\alpha=\pm\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})+2\pi n, \quad n \in Z$[NEWLINE] $\alpha=\pm\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})+\pi n, \quad n \in Z$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Не забываем, что ответ должен быть в градусах, наименьший, да и отрицательный угол при броске — явно посторонний. Итого:[NEWLINE] $\alpha=\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставляем:[NEWLINE] $\alpha=\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4\cdot10\cdot19,6}{28^2})$[NEWLINE] $\alpha= \frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4\cdot196}{28^2})$[NEWLINE] $\alpha= \frac{1}{2}\arccos(1-\frac{(2\cdot14)^2}{28^2})$[NEWLINE] $\alpha= \frac{1}{2}\arccos0$[NEWLINE] $\alpha=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$
    Задание 9
    Небольшой мячик бросают под острым углом \alpha к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha), где v_0 = 28 м/с — начальная скорость мячика, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения. При каком наименьшем значении угла \alpha (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 18,6 м на расстоянии 1 м?
  • Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
    Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Направление} & \textbf{\( v \) (км/ч)} & \textbf{S (км)} & \textbf{t (ч)} \\ \hline \text{По течению} & 15 + x & 200 & \dfrac{200}{15 + x} \\ \hline \text{Против течения} & 15 - x & 200 & \dfrac{200}{15 - x} \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Из условия известно, что общее время движения теплохода (с учетом стоянки) составляет 40 часов. Составим уравнение: [NEWLINE] \[ \dfrac{200}{15 + x} + \dfrac{200}{15 - x} + 10 = 40 \] [NEWLINE] \[ \dfrac{200}{15 + x} + \dfrac{200}{15 - x} = 30 \] [NEWLINE] \[ \dfrac{200(15 - x) + 200(15 + x)}{(15 + x)(15 - x)} = 30 \] [NEWLINE] \[ \dfrac{3000 - 200x + 3000 + 200x}{225 - x^2} = 30 \] [NEWLINE] \[ \dfrac{6000}{225 - x^2} = 30 \] [NEWLINE] \[ 6000 = 30(225 - x^2) \] [NEWLINE] \[ 6000 = 6750 - 30x^2 \] [NEWLINE] \[ 30x^2 = 6750 - 6000 \] [NEWLINE] \[ 30x^2 = 750 \] [NEWLINE] \[ x^2 = 25 \] [NEWLINE] \[ x = \pm 5 \], но отрицательная скорость — это посторонний корень.
    Задание 10
    Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
  • [image:0:right]На рисунке изображён график функции $f(x)=k\sqrt{x}.$ Найдите значение $f(32).$
    Восстановим коэффициент $k,$ взяв точку $(8;4):$[NEWLINE] $4=k\cdot\sqrt{8} \rightarrow k=\frac{4}{\sqrt{8}}$[NEWLINE] Значит $f(x)=\frac{4}{\sqrt{8}}\sqrt{x}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $f(32)=\frac{4}{\sqrt{8}}\cdot\sqrt{32}=8.$
    Задание 11
    Solution image 0
    На рисунке изображён график функции f(x)=k\sqrt{x}. Найдите значение f(32).
  • Найдите наименьшее значение функции $y=7\cos x-13x+9$ на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].$
    Наименьшее значение функции достигается тогда, когда функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания. Конечно же, для нахождения этих промежутков необходимо найти производную, найти ее нули (ведь производная это скорость, а ее нули - точки "остановки" функции): [NEWLINE] $y'=-7\sin x-13$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем нули производной:[NEWLINE] $-7\sin x-13=0$[NEWLINE] $\sin x=-\frac{13}{7} \lt -1 \rightarrow$ нет решений.[NEWLINE] Значит производная не имеет нулей? Именно так. Давайте определим тогда её знак:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $-1 \le \sin x \le 1$[NEWLINE] $-7 \le -7\sin x \le 7$[NEWLINE] $-20 \le 7\sin x -13 \le -6 \rightarrow$ производная всегда отрицательна $\rightarrow$ функция всегда убывает $\rightarrow$ наименьшее значение на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\; 0\right].$ будет при $x=0.$ Подставляем в функцию:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $y=7\cos0-13\cdot0+9=16.$
    Задание 12
    Найдите наименьшее значение функции y=7\cos x-13x+9 на отрезке \left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].
  • а) Решите уравнение $\sin2x=\sqrt2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).$[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right].$
    а) $\sin2x=2\sin x \cos x,$ $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $\sin2x=\sqrt2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$[NEWLINE] $2\sin x \cos x-\sqrt{2}\cos x=0$[NEWLINE] $\cos x(2\sin x -\sqrt{2})=0$[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\cos x=0$[NEWLINE]$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad n \in Z$[COLUMN-BREAK]$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} & x_1=\frac{\pi}{4} +2\pi k, \quad k \in Z \\& x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi m, \quad m \in Z \\\end{aligned}\right.\)[/TWO-COLUMNS] \(\)[NEWLINE] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] \(x_1\) и $x_3$ получаются пересечением окружности с координатной плоскостью, а $x_2$ — движением от \(-2\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{4}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] $x_1=-\frac{5\pi}{2};$[IMAGENEWLINE] $x_2=-2\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4};$[IMAGENEWLINE] $x_3=-\frac{3\pi}{2}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$ \(\left[\begin{aligned} & x_1=\frac{\pi}{4} +2\pi k, \quad k \in Z \\& x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi m, \quad m \in Z \\\end{aligned}\right.\)[IMAGENEWLINE] б) $x_1=-\frac{5\pi}{2};$ $x_2=-\frac{7\pi}{4};$ $x_3=-\frac{3\pi}{2}.$
    Задание 13
    а) Решите уравнение \sin2x=\sqrt2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right].
  • В правильной четырёхугольной призме ABCD A₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 80, а боковое ребро AA₁ равно 40√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 20. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.[NEWLINE] а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости $\gamma$. [NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $\gamma$.
    [image:0:right]а) Построим плоскость $\gamma$:[IMAGENEWLINE] Проведём $MK||BD,$ соединим $M$ и $L,$ $K$ и $N:$ $MLNK$ — искомая плоскость.[IMAGENEWLINE] $AC\cap MK=Q, A_1C_1\cap NL=R$[IMAGENEWLINE] Рассмотрим плоскость $ACC_1A_1:$ [IMAGENEWLINE] Это прямоугольник. $A_1C\cap QR=P.$ Заметим, что так как $ABCD$ — квадрат, то $AO=OC=BO=OD.$ [IMAGENEWLINE] Тогда, по теореме Фалеса, $QK=QM,NR=RL.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Прямая перпендикулярна плоскости тогда, когда перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.[/BOLD] Докажем, что $ A_1C\perp KM,A_1C \perp QR:$[IMAGENEWLINE] 1) $A_1C\perp KM$ по теореме о трёх перпендикулярах, так как $ABCD$ — квадрат, а у него все диагонали взаимно перпендикулярны (по свойству). То есть $AC \perp KM,$ так как $BD ||KM.$ $AA_1\perp AC,$ так как это правильная призма.[IMAGENEWLINE] [image:1:right]2) Здесь удобнее ввести систему координат $xOy,$ рассмотрев плоскость $AA_1C_1C.$ Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:[IMAGENEWLINE] $A_1(0;0), \quad A(0;40\sqrt2), \quad C_1(80\sqrt2;0), \quad C(80\sqrt2;40\sqrt2).$[IMAGENEWLINE] $C_1R=10\sqrt2$ как высота равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $C_1N=C_1L=20\rightarrow R(70\sqrt{2};0)$[IMAGENEWLINE] Аналогично, $CQ=30\sqrt{2}\rightarrow Q(50\sqrt{2};40\sqrt{2})$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\overrightarrow{A_1C}(80\sqrt{2};40\sqrt{2}), \overrightarrow{QR}(20\sqrt{2};-40\sqrt{2})$[IMAGENEWLINE] $\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{QR}=80\sqrt{2}\cdot20\sqrt2+40\sqrt2\cdot(-40\sqrt2)=0$[IMAGENEWLINE] Откуда следует, что $A_1C\perp QR$[IMAGENEWLINE] Значит $A_1C \perp (MLNK),$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:2:right]б) Так как $BD||KM,$ то $ON$ — искомое расстояние от точки $B$ до $\gamma$[IMAGENEWLINE] $\angle RQT=\angle OQN\rightarrow\sin \angle RQT=\sin\angle OQN$[IMAGENEWLINE] $\sin \angle RQT=\frac{RT}{QR},$ где $RT=CC_1=40\sqrt2$[IMAGENEWLINE] $QR$ найдём через длину вектора (см. п. а):$QR=\sqrt{(20\sqrt2)^2+(-40\sqrt2)^2}=20\sqrt{10}.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, $\sin \angle OQN=\frac{ON}{OQ}\rightarrow ON=OQ\cdot\sin\angle OQN$[IMAGENEWLINE] $ON=\frac{OQ\cdot RT}{RQ}=\frac{10\sqrt2\cdot40\sqrt2}{20\sqrt{10}}=4\sqrt{10}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $4\sqrt{10}$
    Задание 14
    В правильной четырёхугольной призме ABCD A₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 80, а боковое ребро AA₁ равно 40√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 20. Плоскость \gamma параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
    а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости \gamma .
    б) Найдите расстояние от точки B до плоскости \gamma .
  • Решите неравенство $\frac{(x+3)^2-9}{x+6}+\frac{36}{x+2} \le 10.$
    $\frac{(x+3)^2-9}{x+6}+\frac{36}{x+2} \le 10$[NEWLINE] $\frac{(x+3-3)(x+3+3)}{x+6}+\frac{36}{x+2}-10 \le 0$[NEWLINE] $\frac{x(x+6)}{x+6}+\frac{36}{x+2}-10 \le 0$[NEWLINE] Сократим $x+6,$ но не будем забывать нанести эту выколотую точку на числовую прямую при решении методом интервалов![NEWLINE] $x+\frac{36}{x+2}-10 \le 0$[NEWLINE] $\frac{x(x+2)+36-10(x+2)}{x+2} \le 0$[NEWLINE] $\frac{x^2+2x+36-10x-20}{x+2} \le 0$[NEWLINE] $\frac{x^2-8x+16}{x+2} \le 0$[NEWLINE] $\frac{(x-4)^2}{x+2} \le 0$[NEWLINE] Нанесём на числовую прямую и методом интервалов решим. Не забываем, что $x=4$ — корень чётной кратности и необходимо выколоть точку $x=-6$[NEWLINE] [image:0:right]Ответ: $x\in(-\infty;-6)\cup(-6;-2)\cup\{4\}.$
    Задание 15
    Решите неравенство \frac{(x+3)^2-9}{x+6}+\frac{36}{x+2} \le 10.
  • В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. [NEWLINE] Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 239 050 рублей больше суммы, взятой в кредит?
    Обозначим: [NEWLINE] $A$ — сумма кредита (в рублях), [NEWLINE] $k = 1{,}1$ — коэффициент увеличения долга (10 %), [NEWLINE] $x$ — ежегодный платёж.[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A & Ak & x \\ \hline 2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline 3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] После третьего платежа долг равен нулю:[NEWLINE] \[ (Ak^2 - xk - x)k - x = 0 \][NEWLINE] \[ Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0 \][NEWLINE] \[ Ak^3 = x(k^2 + k + 1) \][NEWLINE] \[ x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Общая сумма платежей — $3x$. По условию:[NEWLINE] \[ 3x = A + 239050 \][NEWLINE] Подставим $x$: \[ 3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 239050 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $k = 1{,}1$:[NEWLINE] \[ k = 1{,}1,\quad k^2 = 1{,}21,\quad k^3 = 1{,}331 \][NEWLINE] \[ k^2 + k + 1 = 1{,}21 + 1{,}1 + 1 = 3{,}31 \][NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{A \cdot 1{,}331}{3{,}31} = A + 239050 \][NEWLINE] \[ \frac{3{,}993A}{3{,}31} = A + 239050 \][NEWLINE] \[ \frac{3{,}993A - 3{,}31A}{3{,}31} = 239050 \][NEWLINE] \[ \frac{0{,}683A}{3{,}31} = 239050 \][NEWLINE] \[ 0{,}683A = 239050 \cdot 3{,}31 \][NEWLINE] \[ A = 350000\cdot3,31 = 1158500 \]
    Задание 16
    В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
    Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 239 050 рублей больше суммы, взятой в кредит?