СтатГрад №2500109 2026

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • [image:0:right]Больший угол равнобедренного треугольника равен 108°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
    Треугольник равнобедренный => углы при основании равны. Так как сумма углов равна 180°, то на оставшиеся два угла приходится $180^\circ-108^\circ=72^\circ.$[NEWLINE] Так как они оба равны, то равны они $\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.
    Задание 1
    Solution image 0
    Больший угол равнобедренного треугольника равен 108°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
  • Найдите длину вектора $\vec{a}(-24;10).$
    Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора для координат вектора, поэтому [NEWLINE] $|\vec{a}|=\sqrt{(-24)^2+10^2}=26.$
    Задание 2
    Найдите длину вектора \vec{a}(-24;10).
  • [image:0:right]Диагональ куба равна 13. Найдите площадь его поверхности.
    Диагональ куба можно найти по формуле $d=a\sqrt{3}\rightarrow a=\frac{d}{\sqrt3}.$[NEWLINE] При этом, площадь поверхности — площадь шести одинаковых граней (квадратов). [NEWLINE] $S_{пов}=6a^2.$[NEWLINE] $S_{пов}=6\cdot(\frac{13}{\sqrt3})^2=338.$
    Задание 3
    Solution image 0
    Диагональ куба равна 13. Найдите площадь его поверхности.
  • В сборнике билетов по биологии всего 15 билетов, в 9 из них встречается вопрос по разделу «Ботаника». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу «Ботаника».
    Вероятность простейшего события равна отношению числа благоприятных исходов событий к числу всех равновозможных исходов событий:[NEWLINE] $P=\frac{9}{15}=0,6.$
    Задание 4
    В сборнике билетов по биологии всего 15 билетов, в 9 из них встречается вопрос по разделу «Ботаника». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу «Ботаника».
  • В магазине три продавца. Каждый из них запят с клиентом с вероятностью 0,2 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
    Вероятностью независимых событий является произведение вероятностей этих событий. В данном случае необходимо, чтобы все три продавца были заняты. Зная то, что вероятность их занятости независимая, тогда она будет равна [NEWLINE] $P=0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,008.$
    Задание 5
    В магазине три продавца. Каждый из них запят с клиентом с вероятностью 0,2 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
  • Найдите корень уравнения $\frac{1}{2x+7}=\frac{1}{8}.$
    $\frac{1}{2x+7}=\frac{1}{8}.$[NEWLINE] По свойству пропорции,[NEWLINE] $2x+7=8$[NEWLINE] $2x=8-7|:2$[NEWLINE] $x=\frac{1}{2}=0,5.$
    Задание 6
    Найдите корень уравнения \frac{1}{2x+7}=\frac{1}{8}.
  • Найдите значение выражения $(\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{16\frac{2}{3}}):\sqrt{\frac{2}{27}}$
    $(\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{16\frac{2}{3}}):\sqrt{\frac{2}{27}}=$$(\sqrt{\frac{8}{3}}-\sqrt{\frac{50}{3}})\cdot\sqrt{\frac{27}{2}}=$$\sqrt{\frac{8\cdot27}{3\cdot2}}-\sqrt{\frac{50\cdot27}{3\cdot2}}=$$\sqrt{4\cdot9}-\sqrt{25\cdot9}=$$6-15=-9$
    Задание 7
    Найдите значение выражения (\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{16\frac{2}{3}}):\sqrt{\frac{2}{27}}
  • На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-11;2). Найдите количество точек экстремума функции f(x).[image:0]
    Заметим, что нарисован график функции. Экстремумы, для функции, это точки, в которых график функции меняет свой промежуток возрастания на промежуток убывания, и наоборот. Таких точек всего 9 (см. рис.).[image:1]
    Задание 8
    На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-11;2). Найдите количество точек экстремума функции f(x).Solution image 0
  • Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $ H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha), $ где $v_0 = 22$ м/с — начальная скорость мячика, $g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 5,05 м на расстоянии 1 м?
    Из текста выясняем, что высота полёта должна быть не меньше $H = 5{,}05 + 1 = 6{,}05$ м. [NEWLINE] Выразим $\alpha$: [NEWLINE] \[ H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha) \quad \Big| \cdot \frac{4g}{v_0^2} \] [NEWLINE] \[ \frac{4gH}{v_0^2} = 1 - \cos 2\alpha \] [NEWLINE] \[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{4gH}{v_0^2} \] [NEWLINE] \[ 2\alpha = \pm \arccos\!\left(1 - \frac{4gH}{v_0^2}\right) + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \] [NEWLINE] \[ \alpha = \pm \frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{4gH}{v_0^2}\right) + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Не забываем, что ответ должен быть в градусах, наименьший, и $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), отрицательные и большие $90^\circ$ — посторонние. Итого: [NEWLINE] \[ \alpha = \frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{4gH}{v_0^2}\right) \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Подставляем: \[ \alpha = \frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{4 \cdot 10 \cdot 6{,}05}{22^2}\right) \] [NEWLINE] $ \alpha = \frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{242}{484}\right) = $$\frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \arccos\!\left(\frac{1}{2}\right)$ [NEWLINE] $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \quad \Rightarrow $$\quad \alpha = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ $
    Задание 9
    Небольшой мячик бросают под острым углом \alpha к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha), где v_0 = 22 м/с — начальная скорость мячика, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения. При каком наименьшем значении угла \alpha (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 5,05 м на расстоянии 1 м?
  • Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
    Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Направление} & \textbf{\( v \) (км/ч)} & \textbf{S (км)} & \textbf{t (ч)} \\ \hline \text{По течению} & 16 + x & 240 & \dfrac{240}{16 + x} \\ \hline \text{Против течения} & 16 - x & 240 & \dfrac{240}{16 - x} \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Из условия известно, что общее время движения теплохода (с учётом стоянки) составляет 40 часов. Составим уравнение: [NEWLINE] \[ \dfrac{240}{16 + x} + \dfrac{240}{16 - x} + 8 = 40 \][NEWLINE] \[ \dfrac{240}{16 + x} + \dfrac{240}{16 - x} = 32 \][NEWLINE] \[ \dfrac{240(16 - x) + 240(16 + x)}{(16 + x)(16 - x)} = 32 \][NEWLINE] \[ \dfrac{3840 - 240x + 3840 + 240x}{256 - x^2} = 32 \][NEWLINE] \[ \dfrac{7680}{256 - x^2} = 32 \][NEWLINE] \[ 7680 = 32(256 - x^2) \][NEWLINE] \[ 7680 = 8192 - 32x^2 \][NEWLINE] \[ 32x^2 = 8192 - 7680 \][NEWLINE] \[ 32x^2 = 512 \][NEWLINE] \[ x^2 = 16 \][NEWLINE] \[ x = \pm 4 \], но отрицательная скорость — это посторонний корень.
    Задание 10
    Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
  • [image:0:right]На рисунке изображён график функции $f(x)=k\sqrt{x}.$ Найдите значение $f(48).$
    Восстановим коэффициент $k,$ взяв точку $(3;3):$[NEWLINE] $3=k\cdot\sqrt{3} \rightarrow k=\frac{3}{\sqrt{3}}$[NEWLINE] Значит $f(x)=\frac{3}{\sqrt{3}}\sqrt{x}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $f(48)=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{48}=12.$
    Задание 11
    Solution image 0
    На рисунке изображён график функции f(x)=k\sqrt{x}. Найдите значение f(48).
  • Найдите наименьшее значение функции $y = 3\cos x - 17x + 3$ на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\; 0\right].$
    Наименьшее значение функции достигается тогда, когда функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания. Конечно же, для нахождения этих промежутков необходимо найти производную, найти ее нули (ведь производная — это скорость, а её нули — точки «остановки» функции): [NEWLINE] $y' = -3\sin x - 17$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдём нули производной: [NEWLINE] $-3\sin x - 17 = 0$[NEWLINE] $\sin x = -\dfrac{17}{3} < -1 \rightarrow$ нет решений.[NEWLINE] Значит производная не имеет нулей? Именно так. Давайте определим тогда её знак: [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $-1 \le \sin x \le 1$[NEWLINE] $-3 \le -3\sin x \le 3$[NEWLINE] $-20 \le -3\sin x - 17 \le -14 \rightarrow$ производная всегда отрицательна $\rightarrow$ функция строго убывает на всей числовой прямой, в частности на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\; 0\right].$[NEWLINE] Следовательно, наименьшее значение достигается в правом конце отрезка, то есть при $x = 0$. Подставляем в функцию: [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $y = 3\cos 0 - 17 \cdot 0 + 3 = 3 \cdot 1 + 0 + 3 = 6.$
    Задание 12
    Найдите наименьшее значение функции y = 3\cos x - 17x + 3 на отрезке \left[-\dfrac{3\pi}{2};\; 0\right].
  • а) Решите уравнение $\sin 2x = \sqrt{3} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$. [NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\; -2\pi\right]$.
    а) $\sin 2x = 2\sin x \cos x,$ $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos x.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ \sin 2x = \sqrt{3} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) \Rightarrow 2\sin x \cos x = \sqrt{3} \cos x \] [NEWLINE] \[ 2\sin x \cos x - \sqrt{3} \cos x = 0 \] [NEWLINE] \[ \cos x \left(2\sin x - \sqrt{3}\right) = 0 \] [NEWLINE] [TWO-COLUMNS] $\cos x = 0$ [NEWLINE] $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$ [COLUMN-BREAK] $2\sin x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ [NEWLINE] \[\left[\begin{aligned}&x_1 = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z} \\&x_2 = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m,\quad m \in \mathbb{Z}\end{aligned}\right.\] [/TWO-COLUMNS] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] б) Отберём корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесём корни и отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\; -2\pi\right]$ на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] \(x_1\) и $x_3$ получаются пересечением окружности с координатной плоскостью, а $x_2$ — движением от \(-2\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{4}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] $x_1=-\frac{7\pi}{2};$[IMAGENEWLINE] $x_2=-3\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{10\pi}{3};$[IMAGENEWLINE] $x_3=-\frac{5\pi}{2}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$ \(\left[\begin{aligned} & x_1=\frac{\pi}{4} +2\pi k, \quad k \in Z \\& x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi m, \quad m \in Z \\\end{aligned}\right.\)[IMAGENEWLINE] б) $x_1=-\frac{5\pi}{2};$ $x_2=-\frac{7\pi}{4};$ $x_3=-\frac{3\pi}{2}.$
    Задание 13
    а) Решите уравнение \sin 2x = \sqrt{3} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) .
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\dfrac{7\pi}{2};\; -2\pi\right] .
  • В правильной четырёхугольной призме ABCD A₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 40, а боковое ребро AA₁ равно 20√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 10. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.[NEWLINE] а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости $\gamma$. [NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $\gamma$.
    [image:0:right]а) Построим плоскость $\gamma$:[IMAGENEWLINE] Проведём $MK||BD,$ соединим $M$ и $L,$ $K$ и $N:$ $MLNK$ — искомая плоскость.[IMAGENEWLINE] $AC\cap MK=Q, A_1C_1\cap NL=R$[IMAGENEWLINE] Рассмотрим плоскость $ACC_1A_1:$ [IMAGENEWLINE] Это прямоугольник. $A_1C\cap QR=P.$ Заметим, что так как $ABCD$ — квадрат, то $AO=OC=BO=OD.$ [IMAGENEWLINE] Тогда, по теореме Фалеса, $QK=QM,NR=RL.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Прямая перпендикулярна плоскости тогда, когда перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.[/BOLD] Докажем, что $ A_1C\perp KM,A_1C \perp QR:$[IMAGENEWLINE] 1) $A_1C\perp KM$ по теореме о трёх перпендикулярах, так как $ABCD$ — квадрат, а у него все диагонали взаимно перпендикулярны (по свойству). То есть $AC \perp KM,$ так как $BD ||KM.$ $AA_1\perp AC,$ так как это правильная призма.[IMAGENEWLINE] [image:1:right]2) Здесь удобнее ввести систему координат $xOy,$ рассмотрев плоскость $AA_1C_1C.$ Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:[IMAGENEWLINE] $A_1(0;0), \quad A(0;20\sqrt2), \quad C_1(40\sqrt2;0), \quad C(40\sqrt2;20\sqrt2).$[IMAGENEWLINE] $C_1R=5\sqrt2$ как высота равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $C_1N=C_1L=10\rightarrow R(35\sqrt{2};0)$[IMAGENEWLINE] Аналогично, $CQ=15\sqrt{2}\rightarrow Q(25\sqrt{2};20\sqrt{2})$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\overrightarrow{A_1C}(40\sqrt{2};20\sqrt{2}), \overrightarrow{QR}(10\sqrt{2};-20\sqrt{2})$[IMAGENEWLINE] $\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{QR}=40\sqrt{2}\cdot10\sqrt2+20\sqrt2\cdot(-20\sqrt2)=0$[IMAGENEWLINE] Откуда следует, что $A_1C\perp QR$[IMAGENEWLINE] Значит $A_1C \perp (MLNK),$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:2:right]б) Так как $BD||KM,$ то $ON$ — искомое расстояние от точки $B$ до $\gamma$[IMAGENEWLINE] $\angle RQT=\angle OQN\rightarrow\sin \angle RQT=\sin\angle OQN$[IMAGENEWLINE] $\sin \angle RQT=\frac{RT}{QR},$ где $RT=CC_1=20\sqrt2$[IMAGENEWLINE] $QR$ найдём через длину вектора (см. п. а):$QR=\sqrt{(10\sqrt2)^2+(-20\sqrt2)^2}=10\sqrt{10}.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, $\sin \angle OQN=\frac{ON}{OQ}\rightarrow ON=OQ\cdot\sin\angle OQN$[IMAGENEWLINE] $ON=\frac{OQ\cdot RT}{RQ}=\frac{5\sqrt2\cdot20\sqrt2}{10\sqrt{10}}=2\sqrt{10}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $2\sqrt{10}$
    Задание 14
    В правильной четырёхугольной призме ABCD A₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 40, а боковое ребро AA₁ равно 20√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 10. Плоскость \gamma параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
    а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости \gamma .
    б) Найдите расстояние от точки B до плоскости \gamma .
  • Решите неравенство $ \frac{(x+2)^2 - 4}{x + 4} + \frac{25}{x + 2} \le 8. $
    \[ \frac{(x+2)^2 - 4}{x + 4} + \frac{25}{x + 2} \le 8 \][NEWLINE] \[ \frac{(x+2-2)(x+2+2)}{x+4} + \frac{25}{x+2} - 8 \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{x(x+4)}{x+4} + \frac{25}{x+2} - 8 \le 0 \][NEWLINE] Сократим $x+4,$ но не будем забывать нанести эту выколотую точку на числовую прямую при решении методом интервалов![NEWLINE] \[ x + \frac{25}{x+2} - 8 \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{x(x+2) + 25 - 8(x+2)}{x+2} \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{x^2 + 2x + 25 - 8x - 16}{x+2} \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{x^2 - 6x + 9}{x+2} \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{(x - 3)^2}{x + 2} \le 0 \][NEWLINE] Нанесём на числовую прямую и методом интервалов решим. Не забываем, что $x = 3$ — корень чётной кратности и необходимо выколоть точку $x = -4$[NEWLINE] [image:0:right]Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -2) \cup \{3\}.$
    Задание 15
    Решите неравенство \frac{(x+2)^2 - 4}{x + 4} + \frac{25}{x + 2} \le 8.
  • В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.[NEWLINE] Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 520 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?
    Обозначим: [NEWLINE] $A$ — сумма кредита (в рублях), [NEWLINE] $k = 1{,}3$ — коэффициент увеличения долга, [NEWLINE] $x$ — ежегодный платёж. [NEWLINE] Составим таблицу: [NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A & Ak & x \\ \hline 2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline 3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\ \hline \end{array} \] [NEWLINE] После третьего платежа долг равен нулю: [NEWLINE] \[ (Ak^2 - xk - x)k - x = 0 \] [NEWLINE] \[ Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0 \] [NEWLINE] \[ Ak^3 = x(k^2 + k + 1) \] [NEWLINE] \[ x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Общая сумма платежей это $3x$. По условию: [NEWLINE] \[ 3x = A + 520\,200 \] [NEWLINE] Подставим $x$: [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}3$: \[ 3 \cdot \frac{A \cdot (1{,}3)^3}{(1{,}3)^2 + 1{,}3 + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{A \cdot 2{,}197}{1{,}69 + 1{,}3 + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{2{,}197A}{3{,}99} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ \frac{2{,}197A}{1{,}33}-A = 520\,200 \] [NEWLINE] \[ \frac{0{,}867A}{1{,}33} = 520\,200 |\cdot \frac{1{,}33}{0{,}867} \] [NEWLINE] \[ A = \frac{520\,200\cdot 1,33}{0{,}867} = 798\,000 \]
    Задание 16
    В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
    Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 520 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?