СтатГрад №2510311 2026

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • [image:0:right]Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 66°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.
    \angle AOD$ — центральный, значит он равен дуге $AD$: [NEWLINE] \[ ◡AD = 66^\circ \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Так как $BD$ — диаметр, то дуга $BAD = 180^\circ$ (полукруг). [NEWLINE] Следовательно, дуга $AB = 180^\circ - ◡AD = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Угол $ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$, значит: [NEWLINE] \[ \angle ACB = \frac{1}{2} ◡AB = \frac{1}{2} \cdot 114^\circ = 57^\circ \]
    Задание 1
    Solution image 0
    Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 66°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.
  • Даны векторы $\vec{a}(11; -8)$, $\vec{b}(-7; 9)$ и $\vec{c}(-5; 9)$. Найдите значение выражения $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
    Найдём сумму векторов: [NEWLINE] $\vec{a} + \vec{b} = (11 + (-7);\; -8 + 9) = (4;\; 1)$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Скалярное произведение двух векторов $ \vec{u}(x_1, y_1) $ и $ \vec{v}(x_2, y_2) $ вычисляется по формуле: [NEWLINE] $ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 $.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Тогда: [NEWLINE] $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 4 \cdot (-5) + 1 \cdot 9 = -20 + 9 = -11$
    Задание 2
    Даны векторы \vec{a}(11; -8) , \vec{b}(-7; 9) и \vec{c}(-5; 9) . Найдите значение выражения (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} .
  • [image:0:right]Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 7 и 6, а её высота равна 3. Найдите объём пирамиды
    Объём пирамиды находится по формуле $V_{пир}=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h.$[NEWLINE] $V_{пир}=\frac{1}{3}\cdot7\cdot6\cdot3=42.$
    Задание 3
    Solution image 0
    Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 7 и 6, а её высота равна 3. Найдите объём пирамиды
  • Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 7 задач, равна 0,75. Вероятность того, что У. верно решит больше 6 задач, равна 0,83. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 7 задач.
    Обозначим события: [NEWLINE] $A$ — «решено больше 7 задач» → $P(A) = 0{,}75$ [NEWLINE] $B$ — «решено больше 6 задач» → $P(B) = 0{,}83$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Заметим, что событие $B$ включает в себя:[NEWLINE] - решение ровно 7 задач,[NEWLINE] - решение больше 7 задач (то есть событие $A$).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Следовательно: [NEWLINE] \[ P(B) = P(\text{ровно }7) + P(A) \][NEWLINE] \[ P(\text{ровно }7) = P(B) - P(A) = 0{,}83 - 0{,}75 = 0{,}08 \]
    Задание 4
    Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 7 задач, равна 0,75. Вероятность того, что У. верно решит больше 6 задач, равна 0,83. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 7 задач.
  • Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30 % этих стёкол, вторая — 70 %. Первая фабрика выпускает 1 % бракованных стёкол, а вторая — 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
    [image:0:right]Как и все похожие, решается через "Дерево" (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Мы берём, из условия задачи, следующее:[IMAGENEWLINE] первая И бракованная ИЛИ вторая И бракованная[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Напоминаю, что в теорвере И — умножить, ИЛИ — сложить.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $0,3\cdot0,01+0,7\cdot0,02=0,017$
    Задание 5
    Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30 % этих стёкол, вторая — 70 %. Первая фабрика выпускает 1 % бракованных стёкол, а вторая — 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
  • Найдите корень уравнения $\log_2(4 - 5x) = 3\log_2 3$.
    \[ \log_2(4 - 5x) = \log_2 3^3 = \log_2 27 \][NEWLINE] По свойству логарифмов (основания равны, функция монотонна): [NEWLINE] \[ 4 - 5x = 27 \][NEWLINE] \[ -5x = 23 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{23}{5} = -4{,}6 \][NEWLINE] Проверим ОДЗ: $4 - 5x = 4 - 5 \cdot (-4{,}6) = 4 + 23 = 27 > 0$ — выполняется.
    Задание 6
    Найдите корень уравнения \log_2(4 - 5x) = 3\log_2 3 .
  • Найдите значение выражения \[ \frac{\left(7^{\frac{4}{7}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right)^{21}}{14^{12}}. \]
    Раскроем степень в числителе: [NEWLINE] $ \left(7^{\frac{4}{7}}\right)^{21} = 7^{\frac{4}{7} \cdot 21} = 7^{12}$[NEWLINE] $\left(2^{\frac{2}{3}}\right)^{21} = 2^{\frac{2}{3} \cdot 21} = 2^{14} $[NEWLINE] Значит, числитель: [NEWLINE] \[ 7^{12} \cdot 2^{14} \][NEWLINE] Знаменатель: [NEWLINE] \[ 14^{12} = (2 \cdot 7)^{12} = 2^{12} \cdot 7^{12} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Тогда:[NEWLINE] \[ \frac{7^{12} \cdot 2^{14}}{2^{12} \cdot 7^{12}} = 2^{14 - 12} = 2^2 = 4 \]
    Задание 7
    Найдите значение выражения \frac{\left(7^{\frac{4}{7}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}\right)^{21}}{14^{12}}.
  • На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.[image:0]
    Касательная к графику параллельна тогда, когда производная равна нулю. На графике производной мы видим, что такое значение достигается при $x=-3.$
    Задание 8
    На рисунке изображён график функции y=f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.Solution image 0
  • При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 170$ Гц и определяется следующим выражением: \[ f = f_0 \cdot \frac{c + u}{c - v} \quad (\text{Гц}), \] где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 2$ м/с и $v = 17$ м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее 180 Гц?
    \[ 170 \cdot \frac{c + 2}{c - 17} \ge 180 \][NEWLINE] \[ \frac{c + 2}{c - 17} \ge \frac{18}{17} \][NEWLINE] \[ 17(c + 2) \ge 18(c - 17) \][NEWLINE] \[ 17c + 34 \ge 18c - 306 \][NEWLINE] \[ c \le 340 \][NEWLINE] Так как необходима максимальная скорость, то берём крайнее правое значение.
    Задание 9
    При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f_0 = 170 Гц и определяется следующим выражением: f = f_0 \cdot \frac{c + u}{c - v} \quad (\text{Гц}), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 2 м/с и v = 17 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 180 Гц?
  • Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 11 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
    1) Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сплав} & \text{Масса (кг)} & \text{Процент меди} & \text{Масса меди (кг)} \\ \hline \text{Первый} & x & 5 & 0{,}05x \\ \hline \text{Второй} & x + 2 & 11 & 0{,}11(x + 2) \\ \hline \text{Третий} & 2x + 2 & 10 & 0{,}10(2x + 2) \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] 2) Составляем уравнение по массе меди:[NEWLINE] \[ 0{,}05x + 0{,}11(x + 2) = 0{,}10(2x + 2) \][NEWLINE] \[ 0{,}05x + 0{,}11x + 0{,}22 = 0{,}2x + 0{,}2 \][NEWLINE] \[ 0{,}16x + 0{,}22 = 0{,}2x + 0{,}2 \][NEWLINE] \[ 0{,}22 - 0{,}2 = 0{,}2x - 0{,}16x \][NEWLINE] \[ 0{,}02 = 0{,}04x \Rightarrow x = \frac{0{,}02}{0{,}04} = 0{,}5 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Масса третьего сплава: [NEWLINE] \[ 2x + 2 = 2 \cdot 0{,}5 + 2 = 1 + 2 = 3 \]
    Задание 10
    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 11 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
  • [image:0:right]На рисунке изображены графики функций $f(x)=-3x+13$ и $g(x)=ax^2+bx+c,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
    Заметим, что парабола пересекает ось $Oy$ в точке $(0;4)\rightarrow c=4.$ [NEWLINE] Восстановим другие коэффициенты квадратичной функции, взяв точки $(1;2),(2;2):$[NEWLINE] \(\begin{cases} 2=a\cdot1^2+b\cdot1+4 \\ 2=a\cdot2^2+b\cdot2+4 \end{cases}\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} 0=a+b+2 \\ 0=4a+2b+2 \end{cases}\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} -2=a+b \\ -1=2a+b \end{cases}\)[NEWLINE] Вычитаем из нижнего верхнее:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $a=1\rightarrow b=-2-1=-3$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $g(x)=-x^2-3x+4$[NEWLINE] $f(x)=-3x-11$[NEWLINE] $x^2-9=0$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} & x_1=-3\quad (B) \\& x_2=3\quad(A) \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE]
    Задание 11
    Solution image 0
    На рисунке изображены графики функций f(x)=-3x+13 и g(x)=ax^2+bx+c, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
  • Найдите точку максимума функции $y=-\frac{1}{3}x\sqrt{x}+11x+14.$
    $y=-\frac{1}{3}x\sqrt{x}+11x+14$[NEWLINE] $y'=(-\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}})'+(11x)'+14'$[NEWLINE] $y'=-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+11$[NEWLINE] $y'=-\frac{1}{2}\sqrt{x}+11$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдём нули производной:[NEWLINE] $-\frac{1}{2}\sqrt{x}+11=0$[NEWLINE] $x=484$[NEWLINE] Заметим, что корень единственный и поэтому он пойдёт в ответ, но не забудьте удостовериться в истинности решения. Если мы посмотрим на саму функцию производной, то не трудно догадаться о том, что это перевернутый кусок параболы (квадратный корень), причём убывающий и пересекающий ось $Ox$ в точке $x=484,$ поэтому это и будет максимум, ведь производная поменяет свой знак с $+$ на $-.$
    Задание 12
    Найдите точку максимума функции y=-\frac{1}{3}x\sqrt{x}+11x+14.