Пробник СтатГрад №2510109 2025

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 30+15√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
    Воспользуемся формулой, связывающей стороны треугольника и радиус вписанной окружности:[NEWLINE] $S=pr,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.[NEWLINE] Откуда $r=\frac{S}{p}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$ для полупериметра:[NEWLINE] $AB=\sqrt{(30+15\sqrt{2})^2+(30+15\sqrt{2})^2}=$$\sqrt{2(30+15\sqrt{2})^2}=$$\sqrt{2}\cdot(30+15\sqrt{2}).$[NEWLINE] $p=\frac{\sqrt{2}(30+15\sqrt{2})+(30+15\sqrt{2})+(30+15\sqrt{2})}{2}=$$\frac{(\sqrt{2}+2)(30+15\sqrt{2})}{2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Теперь площадь как $S=\frac{1}{2}ab,$ где $a,b$ — катеты:[NEWLINE] $S=\frac{1}{2}\cdot(30+15\sqrt{2})\cdot(30+15\sqrt{2})=$$\frac{(30+15\sqrt{2})^2}{2}.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $r=\frac{\frac{(30+15\sqrt{2})^2}{2}}{\frac{(\sqrt{2}+2)(30+15\sqrt{2})}{2}}=$$\frac{30+15\sqrt2}{\sqrt2+2}=$$\frac{15(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}+2}=15.$
    Задание 1
    Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 30+15√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
    Изображение к заданию 372
  • Найдите $(\vec{a}+\vec{b})^2.$
    [image:0:left]Найдем координаты векторов по единичным векторам (красные, см. рис.):[IMAGENEWLINE] $\vec{a}(2;6),$ $\vec{b}(8;4)$[IMAGENEWLINE] $(\vec{a}+\vec{b})^2=(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}+\vec{b}).$[IMAGENEWLINE] То есть это тупо скалярное произведение векторов. Тогда найдем этот вектор и перемножим:[IMAGENEWLINE] $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}(10;10)$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $(\vec{a}+\vec{b})^2=10\cdot10+10\cdot10=200.$
    Задание 2
    Найдите (\vec{a}+\vec{b})^2.
    Изображение к заданию 374
  • Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 2.
    Площадь боковой поверхности прямой призмы $S=2S_{осн}+S_{бок},$ где $S_{осн}$ — площадь ромба в основании, $S_{бок}$ — площадь всей боковой поверхности, то есть площадь 4-х прямоугольников.[NEWLINE] $S_{осн}=\frac{1}{2}d_1d_2=$$\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6.$[NEWLINE] [image:0:left]Для того чтобы найти площадь 4-х прямоугольников, необходимо знать сторону основания и боковое ребро. Ребро известно, а сторону основания найдем из ромба (см.рис.):[IMAGENEWLINE] В ромбе диагонали делятся пополам в точке пересечения. Рассмотрим $\triangle ABC:$[IMAGENEWLINE] $AC=2,$ $BC=1,5.$[IMAGENEWLINE] Так как в ромбе диагонали взаимноперпендикулярны, то $\triangle ABC$ — прямоугольный. Тогда найдем $AB$ (сторону основания) по теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2,5.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда $S_{бок}=4\cdot2,5\cdot2=20.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Тогда $S=20+2\cdot6=32.$
    Задание 3
    Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 и 4, и боковым ребром, равным 2.
    Изображение к заданию 375
  • В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
    $P=\frac{1994}{2000}=0,997.$
    Задание 4
    В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  • При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
    Такие задания удобно решать с помощью координатной прямой. [image:0:left] Тут нужно просто найти вероятность, которая находится между 790 и 810. Для этого мы для начала найдем обратную вероятность для события "масса окажется больше, чем 790 г": [IMAGENEWLINE] \(P(A)=0,91\) - вероятность события "масса окажется больше, чем 790 г" [IMAGENEWLINE] \( P(\overline{A}) \) - вероятность обратного события, т.е. "масса окажется меньше, чем 790 г" [IMAGENEWLINE] \( P(\overline{A}) = 1 - 0,91 = 0,09. \) [NEWLINE] Перерисуем. [NEWLINE] [image:1:left] Теперь просто вычитаем: \(0,95-0,09=0,86.\) Это и есть искомая вероятность, которую нас просят найти.
    Задание 5
    При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
  • Найдите корень уравнение $\sqrt[3]{x-5}=5.$
    Возведем обе части в третью степень: [NEWLINE] $x-5=125$[NEWLINE] $x=130.$
    Задание 6
    Найдите корень уравнение \sqrt[3]{x-5}=5.
  • Найдите значение выражения $\frac{\log_{2}20}{\log_{2}11}+\log_{11}0,05.$
    $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a},$ $\log_ba\cdot\log_bc=\log_{b}(ac).$[NEWLINE] $\log_{11}20+\log_{11}0,05=\log_{11}(20\cdot\frac{5}{100})=$$\log_{11}1=0.$
    Задание 7
    Найдите значение выражения \frac{\log_{2}20}{\log_{2}11}+\log_{11}0,05.
  • На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;10). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
    [image:0:left]Производная функции — скорость функции. Поэтому, когда производная равна нулю, функция не двигается. [IMAGENEWLINE] Более того, когда функция останавливается, график касательной к функции становится параллельным оси абсцисс. Таких всего 5 (см.рис)
    Задание 8
    На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;10). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
    Изображение к заданию 380
  • Мяч бросили под углом ɑ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле $t=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}.$ При каком значении угла ɑ (в градусах) время полёта составит 1,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_0=16$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g равно 10м/с².
    Выразим $\alpha:$[NEWLINE] $t=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}|\cdot\frac{g}{2v_0}$[NEWLINE] $\sin\alpha=\frac{gt}{2v_0}$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & \alpha=\arcsin\frac{gt}{2v_0}+2\pi n, n\in Z \\& \alpha=180^\circ - \arcsin\frac{gt}{2v_0} + 2\pi k, k \in Z \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Подставляем значения:[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & \alpha=\arcsin\frac{10\cdot1,6}{2\cdot 16}=\arcsin\frac{1}{2}=30^\circ \\& \alpha=180^\circ - \arcsin\frac{1}{2} =180^\circ-30^\circ=150^\circ \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Под тупым углом $\alpha=150^\circ$ к горизонтали невозможно что-то бросать, поэтому это посторонний корень.
    Задание 9
    Мяч бросили под углом ɑ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле t=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}. При каком значении угла ɑ (в градусах) время полёта составит 1,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v_0=16 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g равно 10м/с².
  • Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 32 км/ч большей скорости первого в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
    Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{S (км)} & \textbf{v (км/ч)} & \textbf{t (ч)} \\ \hline \text{Первый } & \text{весь путь} & x & \frac{S}{x} \\ \hline \text{Второй: 1 половина} & \frac{S}{2} & 48 & \frac{S/2}{48} \\ \hline \text{Второй: 2 половина} & \frac{S}{2} & x + 32 & \frac{S/2}{x + 32} \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Из условия задачи известно, что автомобили прибыли одновременно. Составим уравнение: [NEWLINE] \[ \frac{S}{x} = \frac{S/2}{48} + \frac{S/2}{x + 32} \] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Сократим на $S (S ≠ 0)$: [NEWLINE] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2 \cdot 48} + \frac{1}{2(x + 32)} \] [NEWLINE] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{96} + \frac{1}{2(x + 32)} \] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Умножим обе части на $96x(x + 32)\neq0$: [NEWLINE] \[ 96(x + 32) = x(x + 32) + 48x \] [NEWLINE] \[ 96x + 3072 = x^2 + 32x + 48x \] [NEWLINE] \[ 96x + 3072 = x^2 + 80x \] [NEWLINE] \[ x^2 + 80x - 96x - 3072 = 0 \] [NEWLINE] \[ x^2 - 16x - 3072 = 0 \] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3072) = 256 + 12288 = 12544 \] [NEWLINE] $ \sqrt{D} = \sqrt{12544} = $$ \sqrt{16 \cdot 16 \cdot 49} =$$4\cdot4\cdot 7=$$112$ [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ x = \frac{16 \pm 112}{2} \] [NEWLINE] \[ x_1 = \frac{16 + 112}{2} = \frac{128}{2} = 64 \] [NEWLINE] \[ x_2 = \frac{16 - 112}{2} = \frac{-96}{2} = -48 \] [NEWLINE] Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( x = 64 \) км/ч.
    Задание 10
    Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 32 км/ч большей скорости первого в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
  • На рисунке изображён график функции $f(x)=-2x²+bx+c.$ Найдите значение f(-2).
    $f(0)=c\rightarrow c=4$ (пересечение графика с осью $Oy$).[NEWLINE] Тогда $f(x)=-2x^2+bx+4$[NEWLINE] Теперь восстановим коэффициент $b,$ используя формулу абсциссы вершины параболы $x_0=-\frac{b}{2a}:$[NEWLINE] $1=-\frac{b}{2\cdot(-2)} \rightarrow b=4$[NEWLINE] Тогда $f(x)=-2x^2+4x+4$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $f(-2)=-2\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)+4=-12.$
    Задание 11
    На рисунке изображён график функции f(x)=-2x²+bx+c. Найдите значение f(-2).
    Изображение к заданию 383
  • Найдите точку максимума функции $y=\frac{338}{x}+2x+6.$
    Точка максимума — одна из точек экстремума, в которой функция меняет свой промежуток убывания на возрастания. При этом производная меняет свой промежуток знакопостоянства с "плюса" на "минус". Найдем производную, ее нули и промежутки знакопостоянства:[NEWLINE] $y'=(\frac{338}{x})'+(2x)'+6'=$$-\frac{338}{x^2}+2$[NEWLINE] $-\frac{338}{x^2}+2=0|\cdot\frac{x^2}{2}$[NEWLINE] $-169+x^2=0$[NEWLINE] $x=\pm13$[NEWLINE] [image:0:left]Нанесем на числовую прямую и определим знаки.[IMAGENEWLINE] Так как это квадратичная функция с изначально положительным старшим коэффициентом, то знаки интервалов будут "плюс-минус-плюс". Следовательно $x=-13$ — точка максимума.
    Задание 12
    Найдите точку максимума функции y=\frac{338}{x}+2x+6.
  • а) Решите уравнение $2\cos2x-12\cos(x+\frac{\pi}{2})-7=0.$[NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}].$
    $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha,$ $\cos(x+\frac{\pi}{2})=-\sin x$[NEWLINE] $2(1-2\sin^2x)+12\sin x-7=0$[NEWLINE] $2-4\sin^2x+12\sin x-7=0$[NEWLINE] $-4\sin^2x+12\sin x-5=0|\cdot(-1)$[NEWLINE] $4\sin^2x-12\sin x+5=0$[NEWLINE] Пусть $\sin x=t, t\in[-1;1]:$[NEWLINE] $4t^2-12t+5=0$[NEWLINE] $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64$[NEWLINE] $t = \frac{12 \pm 8}{8}$[NEWLINE] $t_1 = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = 2,5> 1$ - не подходит[NEWLINE] $t_2 = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = 0,5$[NEWLINE] $\sin x = 0,5$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in Z \\ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in Z \end{aligned}\right.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Все корни получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. \(x_1\) получается движением от \(-2\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{6}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] $x_1=-2\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $\left[\begin{aligned} x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in Z \\ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in Z \end{aligned}\right.$[NEWLINE] б) $x_1=-2\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}$
    Задание 13
    а) Решите уравнение 2\cos2x-12\cos(x+\frac{\pi}{2})-7=0.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3\pi;-\frac{3\pi}{2}].
  • На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=5:2. Точка T — середина ребра B₁C₁. [NEWLINE] а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD₁ является трапецией. [NEWLINE] б) Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью A₁B₁C₁, если известно, что AB=3√2, AD=4, AA₁=14.
    [image:0:left] а) Построим сечение: [IMAGENEWLINE] 1) Соединим $D_1$ и $T$, а также $D_1$ и $E$[IMAGENEWLINE] 2) Так как плоскость проходит через параллельные грани $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$, то $KT||D_1E$ и соединяем $E$ и $K$, откуда следует, что $EKTD_1$ — искомая плоскость — является трапецией по определению, чтд [image:1:left]б) Построим угол между плоскостями:[IMAGENEWLINE] Проведем $EH\perp D_1T$ и $A_1H\perp D_1T\rightarrow$ $\angle EHA_1$ — искомый угол.[IMAGENEWLINE] Так как $AA_1\perp (A_1B_1C_1D_1)$ по свойствам данной нам фигуры. Значит $\triangle EHA_1$ — прямоугольный. Следовательно, мы можем найти данный угол, используя тригонометрические соотношения. Например, $tg\alpha=\frac{EA_1}{A_1H}.$ Тогда найдем эти катеты:[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Пусть $AE=2x, EA_1=5x \rightarrow$[IMAGENEWLINE] $AA_1=2x+5x=7x=14 \rightarrow$ [IMAGENEWLINE] $x=2 \rightarrow EA_1=10$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:2:left]Чтобы найти $A_1H$ нам необходимо рассмотреть нижнее основание. Здесь необходимо дополнительное построение. Продолжим $DT$ до пересечения с прямой $A_1B_1$ в точку $F$ (см. рис.).[IMAGENEWLINE] Заметим, что $A_1H$ — высота получившегося прямоугольного $\triangle FA_1D_1,$ проведённая из прямого угла. А значит:[IMAGENEWLINE] $A_1H=\frac{A_1D_1\cdot A_1F}{FD_1},$ где неизвестна $FD_1$ — гипотенуза.[IMAGENEWLINE] Заметим, что $B_1T $ — средняя линия по свойству (равна половине основания). Тогда $FA_1=6\sqrt2$.[IMAGENEWLINE] $FD_1=\sqrt{(6\sqrt2)^2+4^2}=$$\sqrt{72+16}=\sqrt{88}=2\sqrt{22}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $A_1H=\frac{4\cdot6\sqrt2}{2\sqrt{22}}=\frac{12\sqrt{11}}{11}$[IMAGENEWLINE] $tg\angle EHA_1=\frac{10}{\frac{12\sqrt{11}}{11}}=$$\frac{110}{12\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{6}$[IMAGENEWLINE] $\angle EHA_1=arctg\frac{5\sqrt{11}}{6}$[IMAGENEWLINE]
    Задание 14
    На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=5:2. Точка T — середина ребра B₁C₁.
    а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD₁ является трапецией.
    б) Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью A₁B₁C₁, если известно, что AB=3√2, AD=4, AA₁=14.
  • Решите неравенство \( x - 5 - \frac{35x - 319}{x^2 - 14x + 45} \leq \frac{1}{x - 9} .\)
    Разложим на множители один из знаменателей:[NEWLINE] $x^2-14x+45=(x-9)(x-5)$[NEWLINE] Приведем все к общему знаменателю:[NEWLINE] $\frac{(x-5)(x-9)(x-5)-(35x-319)-(x-5)}{(x-5)(x-9)} \leq 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим числитель:[NEWLINE] $(x^2-10x+25)(x-9)-35x+319-x+5$[NEWLINE] $(x^2-10x+25)(x-9)-36x+324$[NEWLINE] $(x^2-10x+25)(x-9)-36(x-9)$[NEWLINE] $(x-9)(x^2-10x+25-36)$[NEWLINE] $(x-9)(x^2-10x-11)$[NEWLINE] $(x-9)(x-11)(x+1)$[NEWLINE] Получается следующая дробь: $\frac{(x-9)(x-11)(x+1)}{(x-5)(x-9)} \leq 0$[NEWLINE] Приравняем к нулю и найдем нули функции:[NEWLINE] \(\begin{cases} \left[\begin{aligned} & x=9 \\& x=11 \\ &x=-1\\\end{aligned}\right. \\ x \neq 5 \\ x \neq 9 \end{cases}\)[NEWLINE] [image:0:left]Заметим, что $(x-9)$ сократится и не будет влиять на промежутки знакопостоянства. И все же, мы обязаны будем исключить эту точку в силу того, что она находится в знаменателе. Поэтому покажем на числовой прямой так, будто это корень четной кратности (при переходе через эту точку, знак не поменяется.[IMAGENEWLINE] Определяя знаки методом интервалов, получаем:[IMAGENEWLINE] $x \in (-\infty;-1] \cup (5;9) \cup (9;11] $[NEWLINE]
    Задание 15
    Решите неравенство x - 5 - \frac{35x - 319}{x^2 - 14x + 45} \leq \frac{1}{x - 9} .
  • По вкладу "А" банк в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу "Б" — увеличивает эту сумму на 22% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А".
    Разберем отдельно каждый вклад и обозначим за $x\%$ — натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б". [TWO-COLUMNS]1) Вклад "А"[NEWLINE]$S$ — сумма вклада[NEWLINE]$r_A=20 \% , k=1,2$[NEWLINE]Тогда вклад через 3 года будет $Sk^3$[COLUMN-BREAK]2) Вклад "Б"[NEWLINE]$S$ — сумма вклада[NEWLINE]$r_\text{Б, 2 года}=22 \% ; n=1,22 $[NEWLINE]$r_\text{Б, 3-й год}=x \% $[NEWLINE]Вклад через 3 года будет $Sn^2(1+\frac{x}{100}).$[/TWO-COLUMNS] Теперь внимательно посмотрим на вопрос и составим по нему неравенство: [BOLD]Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А"[/BOLD][NEWLINE] Буквально спрашивают, когда $Sk^3$ будет больше, чем $Sn^2(1+\frac{x}{100}).$ Так и запишем, подставим и решим неравенство:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $Sk^3 \gt Sn^2(1+\frac{x}{100})|:S$[NEWLINE] $k^3 \gt n^2(1+\frac{x}{100})$[NEWLINE] $1,2^3 \gt 1,22^2(1+\frac{x}{100})|:1,22^2$[NEWLINE] $\frac{1,728}{1,4884} \gt 1+\frac{x}{100}$[NEWLINE] $\frac{1,728}{1,4884}-1 \gt \frac{x}{100}$[NEWLINE] $\frac{0,2396}{1,4884} \gt \frac{x}{100}$[NEWLINE] $0,1609 \gt \frac{x}{100}|\cdot 100$[NEWLINE] $x \lt 16,09$[NEWLINE] Ближайшим целым числом, которое попадает под заданный интервал, будет $x=16.$ Это и будет ответом[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 16
    Задание 16
    По вкладу "А" банк в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу "Б" — увеличивает эту сумму на 22% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А".
  • Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение[NEWLINE] $\sqrt{9x^4+4x^2(5x+2)-a(2x^2-a)}=3x^2+4x-a$ [NEWLINE] имеет ровно три различных корня.
    $\sqrt{f(x)}=g(x) $$\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^2(x) \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$[NEWLINE] \((a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc.\)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \(\begin{cases} 9x^4+4x^2(5x+2)-a(2x^2-a)=(3x^2+4x-a)^2 \\ 3x^2+4x-a \geq 0 \end{cases}\) [TWO-COLUMNS]$9x^4+4x^2(5x+2)-a(2x^2-a)=(3x^2+4x-a)^2 $[NEWLINE]$9x^4+20x^3+8x^2-2ax^2+a^2=9x^4+16x^2+a^2+24x^3-6ax^2-8ax$[NEWLINE]$20x^3+8x^2-2ax^2=16x^2+24x^3-6ax^2-8ax$[NEWLINE]$4x^3+8x^2-4ax^2-8ax=0|:4$[NEWLINE]$x^3+2x^2-ax^2-2ax=0$[NEWLINE]$x(x^2+2x-ax-2a)=0$[NEWLINE]$x(x(x+2)-a(x+2))=0$[NEWLINE]$x(x-a)(x+2)=0$[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} & x=0 \\& x=a \\& x=-2 \\\end{aligned}\right.\)[COLUMN-BREAK]$ 3x^2+4x-a \geq 0$[NEWLINE]$a \leq 3x^2+4x$[NEWLINE]Это означает, что если функция будет зависеть от $a,$ то она будет там определяться, где выполняется данное условие. Например, в данной задаче это ограничение касается уравнения $x=a.$ То есть функция вида $a=x$ будет определена как бы "ниже" параболы $a=3x^2+4x.$ А при значениях $x$ таких, что парабола будет ниже, функция прямой будет неопределена.[/TWO-COLUMNS] \(\)[NEWLINE] [image:0:left]Построим систему координат $xOa$ и нанесем все заданные функции. [IMAGENEWLINE] $I.$ Перемещаем прямую $y=a$ и видим, что при $a \in (-\infty;-2)$ происходит пересечение с тремя прямыми. [BOLD]Значит 3 корня[/BOLD][IMAGENEWLINE] $II.$ При $a=-2$ две функции $x=a$ и $x=-2$ пересекаются, поэтому тут два решения.[IMAGENEWLINE] $III.$ При $a \in (-2;1]$ будет 3 пересечения. Прямая $x=a$ пересекается с параболой и "съедается" при "попадании внутрь". Функция $y=a$ при "попадании внутрь" параболы — пропадает из-за ограничений $a \leq 3x^2+4x.$ [BOLD]В итоге 3 корня[/BOLD][IMAGENEWLINE] Далее 3 решений быть не может, так как прямая $x=0$ заканчивается из-за ограничений.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(-\infty;-2) \cup (-2;1]$
    Задание 18
    Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
    \sqrt{9x^4+4x^2(5x+2)-a(2x^2-a)}=3x^2+4x-a
    имеет ровно три различных корня.