Открытый вариант ЕГЭ 2026

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • [image:0:right]В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD — биссектриса, угол CAD равен 30°. Найдите величину угла B. Ответ дайте в градусах.
    Так как $AD$ — биссектриса, то $\angle A=60^\circ.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника:[NEWLINE] $\angle B=180^\circ-60^\circ-54^\circ=66^\circ.$
    Задание 1
    Solution image 0
    В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD — биссектриса, угол CAD равен 30°. Найдите величину угла B. Ответ дайте в градусах.
  • [image:0:right]На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b},$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec{a}+\vec{b}.$
    Найдём координаты векторов:[NEWLINE] $\vec{a}(2;4), \quad \vec{b}(4;4).$ Координаты векторов это, грубо говоря, сколько и куда мы прошли по осям Ox и Oy.[NEWLINE] Теперь $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}(6;8).$[NEWLINE] Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора. Например, для \(\vec{c}(x_c;y_c):|\vec{c}|=\sqrt{x_c^2+y_c^2}.\) Тогда:[NEWLINE] $|\vec{c}|=\sqrt{6^2+8^2}=10.$
    Задание 2
    Solution image 0
    На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \vec{a}+\vec{b}.
  • [image:0:right]Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 12. Найдите объём цилиндра.
    Формулы для нахождения объёмов цилиндра и конуса:[NEWLINE] $V_{ц}=\pi r^2 h, \quad V_{к}=\frac{1}{3}\pi r^2 h.$[NEWLINE] Заметим, что $V_к=\frac{1}{3}V_ц\Rightarrow V_ц=3V_к.$[NEWLINE] $V_ц=3\cdot12=36.$
    Задание 3
    Solution image 0
    Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 12. Найдите объём цилиндра.
  • На экзамене по геометрии школьник должен ответить на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,12. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
    Пусть $A$ — событие "достался вопрос по теме «Вписанная окружность»", $B$ — событие "достался вопрос по теме «Тригонометрия»".[NEWLINE] По условию задачи требуется $A$ ИЛИ $B.$ То есть $P(A\cap B).$ В теорвере союз "ИЛИ" означает "сложить". То есть:[NEWLINE] $P(A\cap B)=P(A)+P(B)$[NEWLINE] $P(A\cap B)=0,2+0,12=0,32.$
    Задание 4
    На экзамене по геометрии школьник должен ответить на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,12. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
  • В коробке 4 синих, 3 красных и 9 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
    Тут возможно два случая такие, что мы взяли синий И красный ИЛИ красный И синий. [NEWLINE] В теорвере "И" - знак умножения, а "ИЛИ" - знак сложения вероятностей. Таким образом, нашей вероятностью будет следующая запись: [NEWLINE] \(P=\frac{4}{16}\cdot\frac{3}{15}+\frac{3}{16}\cdot\frac{4}{15}.\) [NEWLINE] Обратите внимание на то, что эти вероятности абсолютно равны, поэтому:[NEWLINE] \(P=2\cdot\frac{1}{20}=0,1.\)
    Задание 5
    В коробке 4 синих, 3 красных и 9 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
  • Найдите корень уравнения $ \sqrt{76 - 2x} = 8 .$
    $$ \sqrt{76 - 2x} = 8 $$ $$ 76 - 2x = 64 $$ $$ -2x = 64 - 76 $$ $$ -2x = -12 $$ $$ x = 6 $$
    Задание 6
    Найдите корень уравнения \sqrt{76 - 2x} = 8 .
  • Найдите значение выражения $\operatorname{tg} \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{5\sqrt{26}}{26}$ и $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.
    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.[NEWLINE] Выразим $\sin^2 \alpha$:[NEWLINE] $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим значение $\cos \alpha$:[NEWLINE] $$ \cos^2 \alpha = \left( \frac{5\sqrt{26}}{26} \right)^2 = \frac{25 \cdot 26}{26^2} = \frac{25}{26} $$[NEWLINE] $$ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26} $$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем $\sin \alpha$. Так как угол $\alpha$ принадлежит первой четверти $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, синус будет положительным:[NEWLINE] $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} $$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 4. Найдем тангенс по определению $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:[NEWLINE] $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} \cdot \frac{26}{5\sqrt{26}} = 0,2 $$
    Задание 7
    Найдите значение выражения \operatorname{tg} \alpha , если \cos \alpha = \frac{5\sqrt{26}}{26} и \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) .
  • На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(-9;10).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[-6;8].$[image:0]
    Точка максимума функции для графика производной — такая точка, в которой происходит смена знака с $"+"$ на $"-"$. На рисунке таких точек 3, но подходящих по условию только одна (см. рис.).[image:1]
    Задание 8
    На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9;10). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;8]. Solution image 0
  • Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = \sigma S T^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в м$^2$), а $T$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{256} \cdot 10^{21}$ м$^2$, а мощность её излучения равна $9,12 \cdot 10^{26}$ Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.
    Выразим $T$:[NEWLINE] $P = \sigma S T^4 \quad |:\sigma S$[NEWLINE] $T^4 = \frac{P}{\sigma S} \quad |\sqrt[4]{}$[NEWLINE] $T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$[NEWLINE] Подставляем значения:[NEWLINE] $T = \sqrt[4]{\frac{9{,}12 \cdot 10^{26}}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{256} \cdot 10^{21}}} = $$\sqrt[4]{\frac{9{,}12 \cdot 10^{26} \cdot 256}{5{,}7 \cdot 10^{13}}} = $$\sqrt[4]{\frac{912 \cdot 256 \cdot 10^{14}}{5700}} = $$\sqrt[4]{0{,}16 \cdot 256 \cdot 10^{14}} = $$\sqrt[4]{40{,}96 \cdot 10^{14}} = $$\sqrt[4]{4096 \cdot 10^{12}} = $$\sqrt[4]{8^4 \cdot 10^{12}} = 8 \cdot 10^3 = 8000$
    Задание 9
    Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому P = \sigma S T^4 , где P — мощность излучения звезды (в Вт), \sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в м ^2 ), а T — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \frac{1}{256} \cdot 10^{21} м ^2 , а мощность её излучения равна 9,12 \cdot 10^{26} Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.
  • Имеется два сплава. Первый сплав содержит 60 % меди, второй — 10 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 90 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
    1) Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сплав} & \text{Масса (кг)} & \text{Процент меди} & \text{Масса меди (кг)} \\ \hline \text{Первый} & x & 60 & 0{,}60x \\ \hline \text{Второй} & x + 90 & 10 & 0{,}10(x + 90) \\ \hline \text{Третий} & 2x + 90 & 20 & 0{,}20(2x + 90) \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] 2) Составляем уравнение по массе меди:[NEWLINE] \[ 0{,}60x + 0{,}10(x + 90) = 0{,}20(2x + 90) \][NEWLINE] \[ 0{,}6x + 0{,}1x + 9 = 0{,}4x + 18 \][NEWLINE] \[ 0{,}7x + 9 = 0{,}4x + 18 \][NEWLINE] \[ 0{,}7x - 0{,}4x = 18 - 9 \][NEWLINE] \[ 0{,}3x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{0{,}3} = 30 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Масса третьего сплава: [NEWLINE] \[ 2x + 90 = 2 \cdot 30 + 90 = 60 + 90 = 150 \]
    Задание 10
    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 60 % меди, второй — 10 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 90 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
  • [image:0:right]На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c.$ Найдите значение $f(-2).$
    Заметим, что $f(0)=4\rightarrow c=4.$[NEWLINE] Восстановим остальные коэффициенты взяв точки $(1;0),(4;0)$ и составив систему уравнений:[NEWLINE] \(\begin{cases} 0=a\cdot1^2+b\cdot1+4 \\ 0=a\cdot4^2+b\cdot4+4 \end{cases}\) \(\begin{cases} 0=a+b+4 \\ 0=16a+4b+4|:4 \end{cases}\) \(\begin{cases} 0=a+b+4 \\ 0=4a+b+1 \end{cases}\)[NEWLINE] $3a=3\rightarrow a=1.$[NEWLINE] $b=-5$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Тогда $f(x)=x^2-5x+4$[NEWLINE] Тогда $f(-2)=(-2)^2-5\cdot(-2)2+4=18.$
    Задание 11
    Solution image 0
    На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax^2+bx+c. Найдите значение f(-2).
  • Найдите точку минимума функции $y = x^2 - 20x + 48\ln x - 97$.
    $(u + v)' = u' + v' \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}$[NEWLINE] $(x^n)' = n x^{n-1} \qquad x' = 1 \qquad C' = 0 \qquad (C u)' = C u'$[NEWLINE] 1) Найдём производную:[NEWLINE] $y' = \left(x^2 - 20x + 48 \ln x - 97\right)' = (x^2)' - (20x)' + (48 \ln x)' - 97' = 2x - 20 + 48 \cdot \frac{1}{x} - 0 = 2x - 20 + \frac{48}{x}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Найдём нули производной:[NEWLINE] $2x - 20 + \frac{48}{x} = 0 \quad | \cdot x > 0$[NEWLINE] $2x^2 - 20x + 48 = 0 \quad | :2$[NEWLINE] $x^2 - 10x + 24 = 0$[NEWLINE] $\left[\begin{aligned} &x_1 = 6 \\& x_2 = 4 \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] $x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$[NEWLINE] [image:0:right]3) Нанесём на числовую прямую и найдём знаки производной: [IMAGENEWLINE] Определив, знаки производной, заметим, что точка минимума будет при $x=6,$ так как там происходит смена знака с $-$ на $+$
    Задание 12
    Найдите точку минимума функции y = x^2 - 20x + 48\ln x - 97 .
  • а) Решите уравнение $\cos^2 x + \sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$[NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\; 6\pi\right].$
    $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $[NEWLINE] $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = $$\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x)$[NEWLINE] $ \left(\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)\right)^2 = $$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (\sin x - \cos x)^2 = $$\dfrac{1}{2}(\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x) = $$\dfrac{1}{2}(1 - 2\sin x \cos x) $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Тогда:[NEWLINE] $ \cos^2 x + \dfrac{1}{2}(1 - 2\sin x \cos x) = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \cos^2 x + \dfrac{1}{2} - \sin x \cos x = \dfrac{1}{2} $[NEWLINE] $ \cos^2 x - \sin x \cos x = 0 $[NEWLINE] $ \cos x (\cos x - \sin x) = 0 $[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\cos x = 0$[NEWLINE]$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$[COLUMN-BREAK]$ \cos x - \sin x=0|:\cos x$[NEWLINE]$tgx=1$[NEWLINE]$ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z$[/TWO-COLUMNS] [image:0:right]б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\; 6\pi\right].$[IMAGENEWLINE] $5\pi = \dfrac{10\pi}{2}, \quad 6\pi = \dfrac{12\pi}{2}$[IMAGENEWLINE] $x_1 = \dfrac{11\pi}{2}$[IMAGENEWLINE] $x_2 = 5\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{21\pi}{4}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}, \ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$[IMAGENEWLINE] б) $\dfrac{11\pi}{2}, \dfrac{21\pi}{4}$[IMAGENEWLINE]
    Задание 13
    а) Решите уравнение \cos^2 x + \sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[5\pi;\; 6\pi\right].
  • В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка K — середина ребра AB₁. Плоскость $\alpha$ проходит через точки A, K и C.[NEWLINE] а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.[NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.
    [image:0:right]а) [IMAGENEWLINE] 1. Так как $ABCA_1B_1C_1$ — призма, то плоскости оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.[IMAGENEWLINE] 2. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости. По свойству параллельных плоскостей, линии пересечения параллельны.[IMAGENEWLINE] * В нижнем основании линия пересечения — это $AC$.[IMAGENEWLINE] * В верхнем основании линия пересечения проходит через точку $K$. Обозначим точку пересечения с ребром $B_1C_1$ как $M$.[IMAGENEWLINE] * Следовательно, $KM \parallel AC$.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 3. Так как в основании лежит правильный треугольник, $AC \parallel A_1C_1$. Отсюда следует, что $KM \parallel A_1C_1$.[IMAGENEWLINE] 4. Так как $K$ — середина $A_1B_1$ и $KM \parallel A_1C_1$, то по теореме Фалеса (или как средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$), $M$ является серединой $B_1C_1$.[IMAGENEWLINE] * Значит, $KM$ — средняя линия $\triangle A_1B_1C_1$.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 5. Отрезки $B_1M = C_1M = A_1K = KB_1$ (так как это правильная призма и $K, M$ — середины).[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 6. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1K$ и $\triangle CC_1M$:[IMAGENEWLINE] * $AA_1 = CC_1$ (боковые ребра призмы).[IMAGENEWLINE] * $\angle AA_1K = \angle CC_1M = 90^\circ$.[IMAGENEWLINE] * $A_1K = C_1M$.[IMAGENEWLINE] * Следовательно, $\triangle AA_1K = \triangle CC_1M$ по двум катетам (I признак равенства).[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 7. Из равенства треугольников следует, что гипотенузы равны: $AK = CM$.[IMAGENEWLINE] 8. Четырехугольник $AKMC$ — трапеция (так как $KM \parallel AC$), у которой боковые стороны равны ($AK = CM$).[IMAGENEWLINE] Следовательно, $AKMC$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) Для нахождения расстояния от точки $B$ до плоскости сечения введем вспомогательную точку $S$. Продолжим прямые $AK$ и $CM$ до пересечения с продолжением ребра $BB_1$ в точке $S$. Плоскость сечения совпадает с плоскостью треугольника $SAC$.[IMAGENEWLINE] 1. Искомое расстояние в решении обозначим как $BK$ (перпендикуляр от $B$ до плоскости $SAC$).[IMAGENEWLINE] 2. Отрезок $SB$:[IMAGENEWLINE] * Так как $KB_1$ — средняя линия ($KB_1 \parallel AB$ и $KB_1 = \frac{1}{2}AB$), то из подобия треугольников следует, что $SB = 2 BB_1$.[IMAGENEWLINE] * $SB = 2 \cdot 6 = 12$.[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 3. Вычисление гипотенузы $SP$:[IMAGENEWLINE] * Рассматривается прямоугольный треугольник с катетами $SB$ и расстоянием до линии пересечения.[IMAGENEWLINE] * $BP=3\sqrt{3}$ как высота равностороннего треугольника.[IMAGENEWLINE] * По теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] $SP = \sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2 + 12^2}=\sqrt{171}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] 4. Вычисление расстояния $BK$:[IMAGENEWLINE] * Используя формулу для высоты прямоугольного треугольника (произведение катетов на гипотенузу), где катеты $BP = 3\sqrt{3}$ (высота основания) и $SB = 12$:[IMAGENEWLINE] $BK = \frac{BP \cdot SB}{SP}$[IMAGENEWLINE] $BK = \frac{3\sqrt{3} \cdot 12}{\sqrt{171}} = \frac{36}{\sqrt{57}} $$= \frac{12\sqrt{57}}{19}$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $ \frac{12\sqrt{57}}{19}$
    Задание 14
    В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка K — середина ребра AB₁. Плоскость \alpha проходит через точки A, K и C.
    а) Докажите, что сечением призмы плоскостью \alpha является равнобедренная трапеция.
    б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.
  • Решите неравенство: $ \frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \leqslant \frac{38}{\log_2 x^2} $
    Запишем ОДЗ неравенства[NEWLINE] $$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \neq 0 \\ \frac{4}{x} > 0 \\ x \neq 0 \\ \log_2 x^2 \neq 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$[NEWLINE] [NEWLINE] Итоговая ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. [NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \leqslant \frac{38}{\log_2 x^2} $[NEWLINE] Преобразуем неравенство на ОДЗ, используя свойства логарифмов:[NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - (\log_2 4 - \log_2 x) \leqslant \frac{38}{2 \log_2 x} $[NEWLINE] [NEWLINE] $ \frac{4}{\log_2 x} - 2 + \log_2 x \leqslant \frac{19}{\log_2 x} $[NEWLINE] [NEWLINE] Пусть $\log_2 x = t$:[NEWLINE] $ \frac{4}{t} - 2 + t \leqslant \frac{19}{t} $[NEWLINE] $ \frac{4 - 2t + t^2 - 19}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{t^2 - 2t - 15}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] $ \frac{(t+3)(t-5)}{t} \leqslant 0 $[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Сделаем обратную замену:[NEWLINE] $\frac{(\log_{2}x+3)(\log_{2}x-5)}{\log_{2}x} \leqslant 0$[NEWLINE] Введём функцию и найдём её нули:[NEWLINE] $\log_{2}x+3=0$[NEWLINE] $x=\frac{1}{8}$[NEWLINE] $\log_{2}x-5=0$[NEWLINE] $x=32$[NEWLINE] $\log_{2}x=0$[NEWLINE] $x=1$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Собираем неравенство заново:[NEWLINE] $\frac{(x-\frac{1}{8})(x-5)}{x-1} \leqslant 0$[NEWLINE] [image:0:right]Решим полученное неравенство методом интервалов[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(0; \frac{1}{8}] \cup (1; 32]$
    Задание 15
    Решите неравенство: \frac{4}{\log_2 x} - \log_2\left(\frac{4}{x}\right) \leqslant \frac{38}{\log_2 x^2}
  • В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; [NEWLINE] — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей; [NEWLINE] — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; [NEWLINE] — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
    Обозначим: [NEWLINE] $A = 6{,}6$ (млн руб.), [NEWLINE] $n = 5$, [NEWLINE] $k = 1 + \dfrac{r}{100}$, [NEWLINE] $y$ — выплата в 2027–2029 гг., [NEWLINE] $x$ — выплата в 2030 и 2031 гг.[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 2027 & A & A k & y & A \\ \hline 2028 & A & A k & y & A \\ \hline 2029 & A & A k & y & A \\ \hline 2030 & A & A k & x & A k - x \\ \hline 2031 & A k - x & (A k - x)k & x & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Из первой строки: $A k - y = A \Rightarrow y = A(k - 1)$[NEWLINE] Из последней строки: $(A k - x)k - x = 0 \Rightarrow A k^2 - x k - x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{A k^2}{k + 1}$[NEWLINE] Общая сумма выплат: $ 3y + 2x = 3A(k - 1) + 2 \cdot \frac{A k^2}{k + 1} = 12{,}6 $[NEWLINE] Подставим $A = 6{,}6$:[NEWLINE] $ 3 \cdot 6{,}6 (k - 1) + \frac{2 \cdot 6{,}6 \cdot k^2}{k + 1} = 12{,}6 $[NEWLINE] $ 3(k - 1) + \frac{2k^2}{k + 1} = \frac{12{,}6}{6{,}6} = \frac{126}{66} = \frac{21}{11} $[NEWLINE] $ 3(k - 1)(k + 1) + 2k^2 = \frac{21}{11}(k + 1) $[NEWLINE] $ 3(k^2 - 1) + 2k^2 = \frac{21}{11}(k + 1) $[NEWLINE]$ 5k^2 - 3 = \frac{21}{11}k + \frac{21}{11} $[NEWLINE] $ 55k^2 - 33 = 21k + 21 $[NEWLINE] $ 55k^2 - 21k - 54 = 0 $[NEWLINE] $ D = (-21)^2 + 4 \cdot 55 \cdot 54 = 111^2 $[NEWLINE] $ k = \frac{21 \pm 111}{110} \Rightarrow $$k_1 = \frac{132}{110} = 1{,}2,$$ k_2 = \frac{-90}{110} < 0 $[NEWLINE] $ k = 1{,}2 = 1 + \frac{r}{100} \Rightarrow r = 20 $[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 20
    Задание 16
    В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
    — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;
    — выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
    — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

    Найдите r, если известно, что общая сумма выплат равна 12,6 млн рублей.
  • Найдите все значение $a,$ при каждом из которых система[NEWLINE] \(\begin{cases} 2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a, \\ x^2+y^2=1. \end{cases}\)[NEWLINE] имеет единственное решение.
    Заметим, что переменная $x$ либо в модуле, либо в квадрате. Это означает чётность функции, откуда следует, что её значения "отражаются" от оси $Oy.$ Это наводит на мысль о том, что если мы найдём одно решение, то автоматически на второй половине плоскости будет еще одно решение. Значит нам необходимо взять $x=0.$ [NEWLINE] [BOLD]Обращаю ваше внимание[/BOLD], что это [BOLD]НЕОБХОДИМОЕ[/BOLD] условие, но [BOLD]НЕ ДОСТАТОЧНОЕ[/BOLD] для одного решения. После нахождения кандидатов, нам обязательно придется их проверить, так как это не обычный дискриминант или еще что-то, что гарантирует нам количество решений![NEWLINE] Подставляем:[NEWLINE] \(\begin{cases} 2^{|0|+3}+7\cdot|0|+1=8y+7\cdot0^2+a \\ 0^2+y^2=1 \end{cases}\) \(\begin{cases} 2^{3}+1=8y+a \\ y^2=1 \end{cases}\) \(\begin{cases} 9=8y+a \\ \left[\begin{aligned} & y_1=1 \\& y_2=-1 \\\end{aligned}\right. \end{cases}\)[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & 9=8\cdot 1+a \\& 9=8\cdot(-1)+a \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & a=1 \\& a=17 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Теперь необходимо проверить количество решений для этих кандидатов:[NEWLINE] 1) $a=1:$ [NEWLINE] $2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+1$[NEWLINE] $8\cdot2^{|x|}+7\cdot|x|=8y+7x^2$[NEWLINE] $8\cdot2^{|x|}-8y=7x^2-7|x|$[NEWLINE] $8(2^{|x|}-y)=7(x^2-|x|)$[NEWLINE] Необходимо исследовать возможные решения. Если вам очевидно, что это возможно, когда левая и правая часть ноль (что утверждали некоторые преподаватели при разборах), то это не полная правда. Это лишь следствие. А причиной является окружность (А точнее, её ограничения) и допустимые значения функций $2^{|x|}$ и $x^2-|x|$! Это база для таких заданий. Такой вид задания на анализ допустимых значений даже есть в 13-м номере.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Для начала, исследуем окружность:[NEWLINE] $x^2+y^2=1$ — окружность с центром в точке $(0;0),$ R=1 $\Rightarrow x \in [-1;1],y\in[-1;1]$. Эти ограничения накладываются и на второе уравнение системы, ведь именно в этой плоскости могут быть решения.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [image:0:right]Исследуем $2^{|x|}.$ Пусть $f(x)=2^{|x|}.$[IMAGENEWLINE] Так как $x\in [0;+\infty]$ (ввиду модуля) и $2^x \gt 0,$ то $2^{|x|}\geq1$ (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Учитывая $x \in [-1;1]:\quad 2^{|x|}=1\Rightarrow x=0,$ то есть это единственное значение, которое может принимать $x.$[IMAGENEWLINE] Зная, что $y\in[-1;1],$ делаем вывод о том, что $2^{|x|}-y \geq 0$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]Исследуем $x^2-|x|.$ Пусть $f(x)=x^2-|x|.$[IMAGENEWLINE] \(f(x)=\begin{cases} x^2-x,\quad x \geq 0 \\ x^2+x,\quad x \lt 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Учитывая ограничения окружности:[IMAGENEWLINE] \(f(x)=\begin{cases} x^2-x,\quad 0 \leq x \leq 1 \\ x^2+x,\quad -1 \leq x \lt 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Это две параболы, причём их минимальные значения будут в вершине, а максимальные в нулях функции (ввиду тех же ограничений, см. рис.). Откуда делаем вывод, что $x^2-|x| \leq 0.$ [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} 2^{|x|}-y \geq 0 \\ x^2-|x| \leq 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Тогда равными они могут быть только если они равны нулю. Находим нули этих функций и получаем единственную пару чисел $(0;1).$ Следовательно, условие задачи [BOLD]выполняется.[/BOLD][IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 2) $a=17:$[IMAGENEWLINE] $8\cdot 2^{|x|}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+17$[IMAGENEWLINE] Это уже более сложная функция. Тут необходим метод зоркого глаза. Давайте представим, что вот есть у нас окружность. И нам необходимо, чтобы её пересекла какая-то там функция лишь один раз. Когда такое может быть? При касании, но вдруг функция всё-таки пересекает нашу окружность? И вот тут нам поможет банальный перебор тех значений функции, которые мы можем вообще получить. [IMAGENEWLINE] [BOLD]Если какое-то значение функции находится внутри плоскости окружности, то значит она её пересекает.[/BOLD][IMAGENEWLINE] [image:2:right]И вот здесь как раз-таки нужно просто взять те значения, которые удобно считать. Мы знаем, что на краях окружности находятся очень удобные значения $(-1;0)$ и $(1;0).$ Тогда если вы их подставите, то вы получите верное решение в случае с $(1;0)$. Это означает, что окружность пересекается этой функцией. Причём пересекается снизу, так как ещё пара решений это $(0;-1).$ Откуда получается 2 решения, что нам не подходит. Оставил рисунок, оставил для пущего понимания, но на экзамене хватит и эскиза из двух точек даже без доказательства монотонного возрастания/убывания функции[IMAGENEWLINE] Значит $a=17$ — посторонний кандидат.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a=1$
    Задание 18
    Найдите все значение a, при каждом из которых система
    \begin{cases} 2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a, \\ x^2+y^2=1. \end{cases}
    имеет единственное решение.