СтатГрад №2510209 2025

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • [image:0:right]В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 76, вписана окружность, $AB = 14$. Найдите длину стороны $CD$
    В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: [NEWLINE] \[ AB + CD = BC + AD \][NEWLINE] Периметр: \[ AB + BC + CD + DA = 76 \][NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] \[ (AB + CD) + (BC + AD) = 76 \Rightarrow 2(AB + CD) = 76 \][NEWLINE] \[ AB + CD = 38 \][NEWLINE] Известно, что $AB = 14$, значит: \[ 14 + CD = 38 \Rightarrow CD = 24 \]
    Задание 1
    Solution image 0
    В четырёхугольник ABCD , периметр которого равен 76, вписана окружность, AB = 14 . Найдите длину стороны CD
  • [image:0:right]На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}.$ Найдите длину вектора $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}.$
    [image:1:left]Найдем координаты векторов (см. рис):[IMAGENEWLINE] $\vec{a}(-3;4),$ $\vec{b}(5;2),$ $\vec{c}(2;-6)$ [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Найдем координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{d}:$[IMAGENEWLINE] $\vec{d}(-3+5+2;4+2-6)\rightarrow$ $\vec{d}(4;0)$[IMAGENEWLINE] Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора. Например, для \(\vec{c}(x_c;y_c):|\vec{c}|=\sqrt{x_c^2+y_c^2}.\) Тогда:[IMAGENEWLINE] $|\vec{d}|=\sqrt{4^2+0^2}=4.$
    Задание 2
    Solution image 0
    На координатной плоскости изображены векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}. Найдите длину вектора \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}.
  • [image:0:right]Основанием прямой треугольной призмы является треугольник с катетами 3 и 4. Площадь её поверхности равна 72. Найдите боковое ребро призмы.
    [image:1:left]Найдём третью сторону основания (гипотенузу) по теореме Пифагора: $d=5.$[IMAGENEWLINE] $S_{пов. призмы}=2S_{осн}+S_{бок},$ [IMAGENEWLINE] где $S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6;$ $S_{бок}=a(b+c+d),$ где $a$ — боковое ребро призмы; $b=3,c=4,d=5$ — каждая из трёх сторон основания[IMAGENEWLINE] $72=2\cdot6+a(3+4+5)$[IMAGENEWLINE] $12a=72-12$[IMAGENEWLINE] $a=5$
    Задание 3
    Solution image 0
    Основанием прямой треугольной призмы является треугольник с катетами 3 и 4. Площадь её поверхности равна 72. Найдите боковое ребро призмы.
  • За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом.
    [image:0:right]Посадим одну девочку на стул. Тогда. чтобы выполнялось условие "между двумя девочками будет сидеть один мальчик", нужно посадить оставшуюся девочку через одного мальчика, причем таких варианта два: слева и справа. Причем всего стульев осталось 8, ведь 1 занят одной из девочек. [IMAGENEWLINE] \[ P = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25 \][IMAGENEWLINE] Тогда обратная вероятность и будет искомой вероятностью из вопроса задачи:[IMAGENEWLINE] $P=1-0,25=0,75$
    Задание 4
    За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом.
  • Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Химик" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх "Химик" проиграет жребий ровно один раз.
    Вероятность того, что команда "Химик" начнет игру с мячом в одном матче: \( P = \frac{1}{2} \) [NEWLINE] Пусть X — проигрыш, Y — выигрыш. Тогда подходят нам только события вида XXY, XYX, YXX. То есть 3 раза из $2^3=8$ событий.[NEWLINE] Так как команда играет три матча, и события независимы, общая вероятность того, что команда "Химик" проиграет жребий ровно один раз: \( P_{\text{общ}} = \left(\frac{3}{8}\right)=0,375. \) [NEWLINE]
    Задание 5
    Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Химик" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх "Химик" проиграет жребий ровно один раз.
  • Найдите корень уравнения $\log_5(17 - x) = \log_5 3.$
    $\log_5(17 - x) = \log_5 3.$[NEWLINE] $17 - x = 3$[NEWLINE] $-x = 3 - 17$[NEWLINE] $-x = -14$[NEWLINE] $x = 14.$[NEWLINE] Проверим ОДЗ: $17 - x > 0 \Rightarrow 17 - 14 = 3 > 0$ — подходит.
    Задание 6
    Найдите корень уравнения \log_5(17 - x) = \log_5 3.
  • Найдите значение выражения $(2b)^3 : b^6 \cdot b^3$ при $b=16.$
    $(2b)^3 : b^6 \cdot b^3 =$$ \frac{8b^3 \cdot b^3}{b^6} = $$\frac{8b^6}{b^6} = 8.$[NEWLINE]
    Задание 7
    Найдите значение выражения (2b)^3 : b^6 \cdot b^3 при b=16.
  • На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(-16;2).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[-15;0].$ [image:0]
    Обратим внимание, что изображен график производной функции. Вспомни, что если производная меняет свои значения с положительных на отрицательные — это точка максимума. Наоборот — точка минимума.[NEWLINE] [image:1:block] Таких точек максимума всего 3 (см. рис.), всего входят указанный промежуток. Дополнительно отметил точки минимума для общей картины.
    Задание 8
    На рисунке изображён график функции y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-16;2). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-15;0]. Solution image 0
  • Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч²). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la} \), где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в км/ч².
    Выразим формулу, а после подставим значения. [NEWLINE] Возведем в квадрат: [NEWLINE] \(v^2=2la|:2l\)[NEWLINE] \(a=\frac{v^2}{2l}\)[NEWLINE] \(a=\frac{70^2}{2\cdot 1}=2450.\)
    Задание 9
    Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч²). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле v = \sqrt{2la} , где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в км/ч².
  • Катер в 11:00 вышел из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час 20 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт A в 15:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.
    Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{\( v \) (км/ч)} & \textbf{\( S \) (км)} & \textbf{\( t = \frac{S}{v} \) (ч)} \\ \hline \text{По течению} & x + 3 & 15 & \frac{15}{x + 3} \\ \hline \text{Против течения} & x - 3 & 15 & \frac{15}{x - 3} \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Общее время движения катера: Выход — 11:00, возврат — 15:00 → прошло 4 часа. Стоянка — 1 час 20 минут = $1\frac{1}{3}$ часа = $\frac{4}{3}$ часа. Время в пути: $4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ часа. [NEWLINE] Составим уравнение: \[ \frac{15}{x + 3} + \frac{15}{x - 3} = \frac{8}{3}. \] [NEWLINE] \[ \frac{15(x - 3) + 15(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{8}{3} \] [NEWLINE] \[ \frac{15x - 45 + 15x + 45}{x^2 - 9} = \frac{8}{3} \] [NEWLINE] \[ \frac{30x}{x^2 - 9} = \frac{8}{3} \] [NEWLINE] \[ 90x = 8(x^2 - 9) \] [NEWLINE] \[ 90x = 8x^2 - 72 \] [NEWLINE] \[ 8x^2 - 90x - 72 = 0 \] [NEWLINE] \[ 4x^2 - 45x - 36 = 0 \] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601 = 51^2. \] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ x = \frac{45 \pm 51}{8} \] [NEWLINE] \[ x_1 = \frac{45 + 51}{8} = \frac{96}{8} = 12, \] [NEWLINE] \[ x_2 = \frac{45 - 51}{8} = \frac{-6}{8} = -0{,}75. \] [NEWLINE] Скорость не может быть отрицательной.
    Задание 10
    Катер в 11:00 вышел из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час 20 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт A в 15:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.
  • [image:0:right]На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
    [image:1:right]Обозначим графики функций как $f(x)=kx+b$ и $g(x)=ax+m$ (см. рис.)[IMAGENEWLINE] 1) Можете восстановить коэффициенты с помощью производной, если знаете как $k=4, a=-2.$[IMAGENEWLINE] 2) В ином случае, берем две точки и создаём систему:[IMAGENEWLINE] $I.$ Восстановим коэффициенты функции $f(x),$ взяв точки $(-4;1)$ и $(-3;5):$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} 1=k\cdot(-4)+b \\ 5=k\cdot(-3)+b \end{cases}\) Вычитаем из верхнего нижнее.[IMAGENEWLINE] $1-5=-4k+b+3k-b$[IMAGENEWLINE] $-4=-k$[IMAGENEWLINE] $k=4 \rightarrow b=1+4\cdot4=17.$[IMAGENEWLINE] Значит $f(x)=4x+17.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $II.$ Восстановим коэффициенты функции $g(x),$ взяв точки $(3;2)$ и $(2;4):$[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} 2=3a+m \\ 4=2a+m \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Вычитаем из верхнего нижнее.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $2-4=3a+m-2a-m$[IMAGENEWLINE] $-2=a \rightarrow m=2-3\cdot(-2)=8$[IMAGENEWLINE] Значит $g(x)=-2x+8.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Приравниваем:[IMAGENEWLINE] $-2x+8=4x+17$ [IMAGENEWLINE] $x=-1,5$
    Задание 11
    Solution image 0
    На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
  • Найдите наименьшее значение функции $y=(x+4)^2(x+10)+9$ на отрезке $[8;1].$
    Наименьших значений функция достигает в точках минимума.[NEWLINE] $(UV)'=U'V+UV',$ $(U+V)'=U'+V',$ $C'=0.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $y'=((x+4)^2)'(x+10)+(x+10)'(x+4)^2+9'=$$2(x+4)(x+10)+(x+4)^2=$$(x+4)(2(x+10)+x+4)=$$(x+4)(3x+24)$[NEWLINE] Найдем нули производной:[NEWLINE] $(x+4)(3x+24)=0$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & x_1=-4 \\& x_2=-8 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] [image:0:right] Нанесем на числовую прямую и найдем знаки производной.[IMAGENEWLINE] $x=-4$ — точка минимума, входит в указанный промежуток. Найдем значения функции в этой точке. Это и будет наименьшим значением[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $f(-4)=(-4+4)^2(-4+10)+9=9.$
    Задание 12
    Найдите наименьшее значение функции y=(x+4)^2(x+10)+9 на отрезке [8;1].
  • а) Решите уравнение $\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2})-\sin(\pi+x)=0.$[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-7\pi;-4\pi].$
    а) $\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2})=-\sin\frac{x}{2};$ $\sin(\pi+x)=-\sin x$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $-\sin\frac{x}{2}+\sin x=0$[NEWLINE] Заметим, что $\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$[NEWLINE] $-\sin\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$[NEWLINE] $-\sin\frac{x}{2}(1-2\cos\frac{x}{2})=0$[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\sin\frac{x}{2}=0$[NEWLINE]$\frac{x}{2}=\pi k$[NEWLINE]$x=2\pi k, \quad k \in Z$[COLUMN-BREAK]$1-2\cos\frac{x}{2}=0$[NEWLINE]$\cos\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$[NEWLINE]$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, \quad n \in Z$[NEWLINE]$x=\pm\frac{2\pi}{3}+4\pi n$[/TWO-COLUMNS][NEWLINE] б) б) Не совсем ЕГЭшного уровня (на момент 2025-2026 года) промежуток, да и сами корни и потому отбирать с помощью тригонометрической окружности — не самый лучший выбор, на мой взгляд. Давайте просто прибавлять периоды и смотреть, подходит или нет:[NEWLINE] $I.$ Возьмём $x=2\pi k:$ [NEWLINE] 1) $ k=-2\rightarrow x=-4\pi$ — подходит[NEWLINE] 2) $k=-3\rightarrow x=-6\pi$ — подходит (дальше явно выходит за заданный промежуток)[NEWLINE] $II.$ Возьмём $x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n:$[NEWLINE] 1) $n=-2 \rightarrow x=\frac{2\pi}{3}-8\pi=-7\pi-\frac{\pi}{3}$ — не подходит (если взять $k=-1,$ то тоже не пойдет)[NEWLINE] $III.$ Возьмём $x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n:$[NEWLINE] 1) $n=-1 \rightarrow x=-\frac{2\pi}{3}-4\pi=-\frac{14\pi}{3}$ — подходит, а через еще одну $4\pi$ выйдет за пределы заданного отрезка.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n; x=2\pi k, \quad k \in Z, \quad n, k \in Z$[NEWLINE] б) $x=-4\pi;x=-6\pi; -\frac{14\pi}{3}.$
    Задание 13
    а) Решите уравнение \cos(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2})-\sin(\pi+x)=0.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7\pi;-4\pi].
  • В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M = 4MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.[NEWLINE] а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.[NEWLINE] б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 50.[NEWLINE]
    [image:0:left]а) Заметим, что данная треугольная призма [BOLD]правильная[/BOLD]. Это значит, что $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний. Единственный перпендикуляр, который может проводиться в точку $K$ — высота $C_1K.$ [IMAGENEWLINE] Также вспомним, что основания и боковые грани перпендикулярны, откуда следует, что $C_1K \perp AA_1.$ [IMAGENEWLINE] То есть мы имеем $C_1K \perp A_1B_1$ и $C_1K \perp AA_1.$ Из этого следует, что $C_1K$ будет перпендикулярно плоскости, что прописано в условии. Следовательно, $C_1 \in C_1KM,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] б) Заметим, что $C_1K \perp KM,$ потому что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Значит $\triangle C_1KM$ — прямоугольный, а значит его площадь будет вычисляться по формуле $S=\frac{1}{2}C_1K\cdot KM.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, нам необходимо найти его катеты. Знаем, что все ребра по $50$, а также $A_1K=KB_1$ и $A_1M=4MA.$ Из этого будет следовать, что[IMAGENEWLINE] $A_1K=KB_1=25,$ $A_1M=40,$ $AM=10.$ Тогда:[IMAGENEWLINE] 1) $C_1K=\sqrt{50^2-25^2}=\sqrt{(50-25)(50+25)}=$$\sqrt{25\cdot75}=25\sqrt{3}.$[IMAGENEWLINE] 2) $KM=\sqrt{40^2+25^2}=\sqrt{5^2(8^2+5^2)}=5\sqrt{89}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $S=\frac{1}{2}\cdot 25\sqrt{3}\cdot5\sqrt{89}=\frac{125}{2}\sqrt{267}.$
    Задание 14
    В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M = 4MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.
    а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.
    б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 50.
  • Решите неравенство $\log_3(7^{\log_7(7-x)}+20^{\log_{20}(x+20)})+1 \geq \log_2(x^2-6x)$
    $\log_3(7^{\log_7(7-x)}+20^{\log_{20}(x+20)})+1 \geq \log_2(x^2-6x)$[NEWLINE] Рассмотрим ограничения:[NEWLINE] \(\begin{cases} 7^{\log_7(7-x)}+20^{\log_{20}(x+20)} \gt 0 \\ 7-x \gt 0 \\ x+20 \gt 0 \\ x^2-6x \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} 7-x+x+20 \gt 0 \\ x \lt 7 \\ x \gt -20 \\ x(x-6) \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} 27 \gt 0 \rightarrow x\in \mathbb{R}\\ x \lt 7 \\ x \gt -20 \\ x(x-6) \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} -20 \lt x \lt 7 \\ \left[\begin{aligned} & x \lt 0 \\& x \gt 6 \\\end{aligned}\right. \end{cases}\)[NEWLINE] Нанесем на числовую прямую и пересечём решения:[NEWLINE] [image:2:right] $x \in (-20;0) \cup (6;7)$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\log_3(7^{\log_7(7-x)}+20^{\log_{20}(x+20)})+1 \geq \log_2(x^2-6x)$[IMAGENEWLINE] $\log_3(7-x+x+20)+1\geq\log_2(x^2-6x)$[IMAGENEWLINE] $\log_{3}27+1\geq\log_2(x^2-6x)$[IMAGENEWLINE] $3+1\geq\log_2(x^2-6x)$[IMAGENEWLINE] $4 \geq \log_2(x^2-6x)$[IMAGENEWLINE] $2 \gt 1 \rightarrow$ функция возрастает[IMAGENEWLINE] $16 \geq x^2-6x$[IMAGENEWLINE] $x^2-6x - 16 \leq 0$[IMAGENEWLINE] Это квадратичная функция, график — парабола, нули в точках $x=-2$ и $x=8.$ Нанесём на числовую прямую и пересечём с ограничениями:[IMAGENEWLINE] [image:3:right] Обращаю ваше внимание на то, что $x=8$ не входит в ограничения, а значит и не войдёт в итоговый ответ.[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x\in[-2;0) \cup (6;7)$
    Задание 15
    Решите неравенство \log_3(7^{\log_7(7-x)}+20^{\log_{20}(x+20)})+1 \geq \log_2(x^2-6x)
  • 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 25,2 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5 % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] - к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE]
    Обозначим: [NEWLINE] $S = 25{,}2$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $r = 5\% = 0{,}05$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\frac{S}{36}$ — фиксированная часть долга, которая гасится каждый месяц.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S + Sr & Sr + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{35}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} + S \cdot \dfrac{35}{36}r & S \cdot \dfrac{35}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{34}{36} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 25 & S \cdot \dfrac{12}{36} & S \cdot \dfrac{12}{36} + S \cdot \dfrac{12}{36}r & S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{11}{36} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 36 & \dfrac{S}{36} & \dfrac{S}{36} + \dfrac{S}{36}r & \dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Заметим, что выплаты образуют арифметическую прогрессию. Так как необходимо найти сумму выплат за 2029 год (25–36 месяцы), то составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{\left(S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36}\right) + \left(\dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36}\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{(12r + 1) + (r + 1)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{13r + 2}{2} \cdot 12 = \frac{S}{36} \cdot 6 \cdot (13r + 2) \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{6} \cdot (13r + 2) \][NEWLINE] Подставим $S = 25{,}2$, $r = 0{,}05 = \dfrac{5}{100}$:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{25{,}2}{6} \cdot \left(13 \cdot \frac{5}{100} + 2\right) = \frac{25{,}2}{6} \cdot \left(\frac{65}{100} + \frac{200}{100}\right) \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{25{,}2}{6} \cdot \frac{265}{100} = \frac{25{,}2 \cdot 265}{600} \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{6678}{600} = 11{,}13 \text{ млн} \][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 11,13
    Задание 16
    15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 25,2 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
    - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5 % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
    - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
    - к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
  • В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.[NEWLINE] а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.[NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $10\sqrt{6}$, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle ABC = 105^\circ$.[NEWLINE]
    [image:0:left]а) $BN$ — диаметр (по условию), $\angle BKN$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $BN \rightarrow \angle BKN=90^\circ$[IMAGENEWLINE] Так как $\angle BHA =90^\circ,$ так как $BH$ — высота и два упомянутых угла — соответственные углы при пересечении двух прямых $AC$ и $KN$ третьей прямой $BK,$ то из этого следует, что $AC||KN,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:left]б) $R=10\sqrt{6}, \angle BAC=30^\circ, \angle ABC=105^\circ.$[IMAGENEWLINE] Из теоремы о сумме углов треугольников:[IMAGENEWLINE] $\angle ACB=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ.$[IMAGENEWLINE] Проведем доп. построение $AN$ и заметим, что $\angle BNA=\angle BCA=45^\circ$ как вписанные углы, опирающиеся на одну окружность.[IMAGENEWLINE] Также заметим, что $\angle CAN=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$ так как $\angle BAN$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр.[IMAGENEWLINE] Тогда в $\triangle AMN:$ $\angle MNA=30^\circ,$ $\cos30^\circ=\frac{MN}{AN}\rightarrow MN=AN\cos30^\circ.$ Значит нашей задачей теперь является найти $AN.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Вспомним о $BAN:$ у него оба угла по $45^\circ.$ Из этого следует его равнобедренность. Значит $AB=AN.$[IMAGENEWLINE] Теперь рассмотрим теорему синусов для вписанного треугольника $\triangle ABC:$[IMAGENEWLINE] $\frac{AB}{\sin45^\circ}=2R \rightarrow AB=2R\sin45^\circ$[IMAGENEWLINE] $AB=2\cdot10\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{12}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $MN=10\sqrt{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{36}=30.$
    Задание 17
    В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
    а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.
    б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 10\sqrt{6} , \angle BAC = 30^\circ , \angle ABC = 105^\circ .
  • Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение [NEWLINE]$a(x+\frac{4}{x})^2+3(x+\frac{4}{x})-36a+18=0$ [NEWLINE]имеет ровно два различных корня.
    $a(x+\frac{4}{x})^2+3(x+\frac{4}{x})-36a+18=0$[NEWLINE] Введём замену $y=x+\frac{4}{x} $ и проанализируем её:[NEWLINE] $xy=x^2+4\rightarrow x^2-xy+4=0$[NEWLINE] То есть относительно $x$ заменённое уравнение — квадратичное. Значит оно имеет два корня при $D \gt 0$ и один корень при $D=0.$[NEWLINE] $D=y^2-16$[NEWLINE] $D \gt 0 \rightarrow y \in (-\infty;-4) \cup (4;+\infty)$ [NEWLINE] $D=0 \rightarrow y=\pm4$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим теперь $ay^2+3y-36a+18=0$[NEWLINE] Данное уравнение может быть [BOLD]линейным[/BOLD] (при $a=0$) и [BOLD]квадратным[/BOLD] (при $a\neq0$).[NEWLINE] $I.$ [BOLD]Рассмотрим первую ситуацию:[/BOLD][NEWLINE] $3y+18=0 \rightarrow y=-6\in (-\infty;-4) \cup (4;+\infty)$[NEWLINE] Значит при $a=0$ искомое уравнение имеет ровно 2 различных корня[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $II.$ [BOLD]Вторая ситуация:[/BOLD][NEWLINE] Найдём дискриминант $ay^2+3y-36a+18=0:$[NEWLINE] $D=9-4\cdot a\cdot (-36a+18)=$$144a^2-72a+9=(12a-3)^2$[NEWLINE] 1) Если $D=0,$ то $y=\frac{-b}{2a}.$[NEWLINE] Найдём $a$ из дискриминанта, равного нулю:[NEWLINE] $(12a-3)^2=0 \rightarrow a=\frac{1}{4}$[NEWLINE] Тогда $y=\frac{-3}{2\cdot \frac{1}{4}}=-6$ (опять, уже знаем, что подходит)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Если $D \gt 0.$ Казалось бы, нам такое не подходит, ведь если так будет, то каждый из $y$ даст по два корня и в результате их будет $4,$ но ведь мы можем сказать, что действительно корня будет два, вот только один [BOLD]не будет попадать в свои же ограничения![/BOLD][NEWLINE] Тогда $y_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{(12a-3)^2}}{2a}$[NEWLINE] $y_1=\frac{-3+12a-3}{2a}=\frac{6a-3}{a}$[NEWLINE] $y_2=\frac{-3-12a+3}{2a}=-6$[NEWLINE] Теперь мы видим, что $y_2$ уже попадает и является решением. Значит нам нужно найти такие значения $a,$ при которых $y_1$ не входит в $(-\infty;-4) \cup (4;+\infty).$ Составим систему:[NEWLINE] \(\begin{cases} \frac{6a-3}{a} \gt -4 \\ \frac{6a-3}{a} \lt 4 \end{cases}\)\(\begin{cases} \frac{10a-3}{a} \gt 0 \\ \frac{2a-3}{a} \lt 0 \end{cases}\) Решив оба неравенства, пересечём их и получим, что $a\in(\frac{3}{10};\frac{3}{2})$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Объединяя с предыдущими, получаем ответ:[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(\frac{3}{10};\frac{3}{2})\cup\{0;\frac{1}{4}\}$
    Задание 18
    Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
    a(x+\frac{4}{x})^2+3(x+\frac{4}{x})-36a+18=0
    имеет ровно два различных корня.