Пробник СтатГрад №2510111 2025

Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть

  • В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, BC=10. Найдите радиус вписанной окружности.
    Воспользуемся формулой, связывающей стороны треугольника и радиус вписанной окружности:[NEWLINE] $S=pr,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.[NEWLINE] Откуда $r=\frac{S}{p}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$ для полупериметра:[NEWLINE] $AB=\sqrt{24^2+10^2}=26.$[NEWLINE] $p=\frac{26+24+10}{2}=30$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Теперь площадь как $S=\frac{1}{2}ab,$ где $a,b$ — катеты:[NEWLINE] $S=\frac{1}{2}\cdot24\cdot10=120.$[NEWLINE] $r=\frac{120}{30}=4.$
    Задание 1
    В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, BC=10. Найдите радиус вписанной окружности.
    Изображение к заданию 373
  • Даны векторы $\vec{a}$(-15;-3), $\vec{b}$(-3;4) и $\vec{c}$(0;4). Найдите длину вектора $\vec{a}-5\vec{b}+\vec{c}.$
    Длина вектора это, по сути, теорема Пифагора. Например, для \(\vec{c}(x_c;y_c):|\vec{c}|=\sqrt{x_c^2+y_c^2}.\) Тогда:[NEWLINE] $\vec{a}-5\vec{b}+\vec{c}=\vec{d}(-15-5\cdot(-3)+0;-3-5\cdot4+4)=$$\vec{d}(0;-19)$[NEWLINE] То есть результирующим вектором будет даже не наклонный отрезок, а параллельный оси ординат, а значит он имеет длину $19.$
    Задание 2
    Даны векторы \vec{a} (-15;-3), \vec{b} (-3;4) и \vec{c} (0;4). Найдите длину вектора \vec{a}-5\vec{b}+\vec{c}.
  • Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 5, а площадь поверхности равна 190.
    Площадь всей поверхности $S=2S_{осн}+S_{бок},$ где $S_{осн}$ — площадь квадрата (правильная призма); $S_{бок}$ — площадь 4-х прямоугольников, одну из сторон у которых необходимо найти, а другая — сторона основания (то есть $5$).[NEWLINE] Пусть $x$ — боковое ребро. Тогда $S_{осн}=4\cdot5\cdot x=20x.$ Составим и решим уравнение:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $190=2\cdot5^2+20x$[NEWLINE] $190-50=20x|:20$[NEWLINE] $x=7.$
    Задание 3
    Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 5, а площадь поверхности равна 190.
    Изображение к заданию 386
  • Фабрика выпускает сумки. В среднем из 140 сумок 10 сумок имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами. Результат округлите до сотых.
    $P=\frac{10}{140}\approx0,07$
    Задание 4
    Фабрика выпускает сумки. В среднем из 140 сумок 10 сумок имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами. Результат округлите до сотых.
  • Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
    [image:0:left]Такие задачи очень удобно решать через числовые прямые. Суть в том, что нам нужно найти вероятность $P$ такую, которую можно выразить из следующего уравнения:[IMAGENEWLINE] $P(\gt 1)=P(1 \lt x \lt 2)+P(\gt 2)$[IMAGENEWLINE] $P(1 \lt x \lt 2)=P(\gt 1)-P(\gt 2)$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] То есть, обратите внимание на то, что нам нужно, чтобы эти "кривые" были направлены как бы в одну сторону, а потом из большего вычесть меньшее:[IMAGENEWLINE] $P(1 < x < 2)=0,95-0,87=0,08$
    Задание 5
    Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
  • Найдите корень уравнения $\sqrt{\frac{18}{2x-52}}=\frac{1}{8}.$
    Рассмотрим ограничения:[NEWLINE] $\frac{18}{2x-52}\geq0$[NEWLINE] Заметим, что $18 \gt 0.$ Тогда частное может быть неотрицательным в таком случае только если $2x-52 \gt 0$[NEWLINE] $2x-52 \gt 0$[NEWLINE] $x \gt 26$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $\sqrt{\frac{18}{2x-52}}=\frac{1}{8}|^2$[NEWLINE] $\frac{18}{2x-52}=\frac{1}{64}$[NEWLINE] $2x-52=18\cdot64|:2$[NEWLINE] $x=9\cdot64+52=602.$[NEWLINE]
    Задание 6
    Найдите корень уравнения \sqrt{\frac{18}{2x-52}}=\frac{1}{8}.
  • Найдите значение выражения $\log_{2,5}6\cdot\log_{6}0,4.$
    $\log_{b}a\cdot\log_{a}c=\log_{b}c$[NEWLINE] $\log_{2,5}6\cdot\log_{6}0,4=$$\log_{2,5}0,4=$$\log_{\frac{5}{2}}\frac{2}{5}=-1.$
    Задание 7
    Найдите значение выражения \log_{2,5}6\cdot\log_{6}0,4.
  • На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
    [image:0:left]Если функция убывает, то касательная с положительным направлением оси $Ox$ будет составлять тупой угол. Чем ближе этот угол к $\frac{\pi}{2},$ тем быстрее функция убывает (то есть склона как бы "круче"). Точки $-1$ и $3$ нам не подходят, так как там функция возрастает. [IMAGENEWLINE] Достроим касательные к точкам, в которых функция убывает (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Очевидно, что в точке $x=4$ функция убывает быстрее, значит производная там самая наименьшая.
    Задание 8
    На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
    Изображение к заданию 391
  • Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U+U_0\sin(\omega t+\phi),$ где $t$ — время в секундах, $U_0= 2 $ В — амплитуда, $\omega=60^\circ/с$ — частота, $\phi=-15^\circ$ — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
    $1=2\sin(60^\circ t-15^\circ)|:2$[NEWLINE] $\sin(60^\circ t-15^\circ)=\frac{1}{2}$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & 60^\circ t-15^\circ=30^\circ+360^\circ\pi n, n\in Z \\& 60^\circ t-15^\circ=150^\circ+360^\circ\pi k, k\in Z \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Периоды синусоиды нам не нужны, так как спрашивает про первую секунду. Отбрасываем их и находим подходящие $t:$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & 60^\circ t-15^\circ=30^\circ \\& 60^\circ t-15^\circ=150^\circ \\\end{aligned}\right.\) \(\left[\begin{aligned} & 60^\circ t=30^\circ+15^\circ |:60 \\& 60^\circ t=150^\circ+15^\circ|:60 \\\end{aligned}\right.\) \(\left[\begin{aligned} & t=\frac{45}{60}=\frac{3}{4} \\& t=\frac{165}{60} > 1 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Мы нашли время, когда лампочка включится, то есть в момент времени $t=\frac{3}{4}.$ Тогда в первую секунду она горела только $t_1=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=0,25=25\%$
    Задание 9
    Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U+U_0\sin(\omega t+\phi), где t — время в секундах, U_0= 2 В — амплитуда, \omega=60^\circ/с — частота, \phi=-15^\circ — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
  • Велосипедист ехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 108 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью, на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
    Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{S (км)} & \textbf{v (км/ч)} & \textbf{t (ч)} \\ \hline \text{Из A в B} & 108 & x & \frac{108}{x} \\ \hline \text{Обратный путь} & 108 & x + 3 & \frac{108}{x + 3} + 3 \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Из условия задачи известно, что время на оба пути одинаково. Составим уравнение: [NEWLINE] \[ \frac{108}{x} = \frac{108}{x + 3} + 3 \] [NEWLINE] Умножим обе части на $x(x + 3)$: [NEWLINE] \[ 108(x + 3) = 108x + 3x(x + 3) \] [NEWLINE] \[ 108x + 324 = 108x + 3x^2 + 9x \] [NEWLINE] \[ 324 = 3x^2 + 9x \] [NEWLINE] \[ 3x^2 + 9x - 324 = 0 \ |:3 \] [NEWLINE] \[ x^2 + 3x - 108 = 0 \] [NEWLINE] \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 \] [NEWLINE] \[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \] [NEWLINE] \[ x = \frac{-3 \pm 21}{2} \] [NEWLINE] \[ x_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] [NEWLINE] \[ x_2 = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \] [NEWLINE] Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x = 9$ км/ч.
    Задание 10
    Велосипедист ехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 108 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью, на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
  • На рисунке изображён график функции $f(x)=ax^2-8x+c.$ Найдите значение $f(-2).$
    $f(0)=c\rightarrow c=3$ (см. рис.)[NEWLINE] Тогда $f(x)=ax^2-8x+3$[NEWLINE] Восстановим коэффициент $a$ через формулу $x_0=2=-\frac{b}{2a}:$[NEWLINE] $2=-\frac{-8}{2a}\rightarrow a=2$[NEWLINE] Тогда $f(x)=2x^2-8x+3.$ Найдем $f(-2):$[NEWLINE] \(\) [NEWLINE] $f(-2)=8+16+3=27.$
    Задание 11
    На рисунке изображён график функции f(x)=ax^2-8x+c. Найдите значение f(-2).
    Изображение к заданию 394
  • Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2+25}{x}$
    Точка минимума — одна из точек экстремумов функции, в которой функция меняет свой промежуток убывания на промежуток возрастания. Для производной это означает смену знака с "минуса" на "плюс". Найдем такую точку, взяв производную и решим с помощью методы интервалов:[NEWLINE] $y'=-\frac{x^2+25}{x}=$$\frac{x^2+25}{-x}=$$\frac{(x^2+25)'\cdot(-x)-(x^2+25)\cdot(-x)'}{(-x^2)}=$$\frac{2x\cdot(-x)+x^2+25}{x^2}=$$\frac{-2x^2+x^2+25}{x^2}=$$\frac{25-x^2}{x^2}.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем нули производной:[NEWLINE] $\frac{25-x^2}{x^2}=0$[NEWLINE] \(\begin{cases} 25-x^2=0 \\ x^2 \neq 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x=\pm5 \\ x \neq 0 \text{ (2 кр)} \end{cases}\) [image:0:left]Наносим на числовую прямую и находим знаки. Обращаю ваше внимание на четность корня $x \neq 0,$ что позволяет функции не менять знак. Точка $x=-5$ — точка минимума функции (по определению выше).
    Задание 12
    Найдите точку минимума функции y=-\frac{x^2+25}{x}
  • а) Решите уравнение \( 2 \cos 2x - 16 \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) - 7 = 0. \) [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{5\pi}{2}, 4\pi \right].$[NEWLINE]
    $\cos2x = 2\cos^2x-1$ и $\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right) = -\cos x$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $2(2\cos^2x-1) - 16(-\cos x) - 7 = 0$[NEWLINE] $4\cos^2x - 2 + 16\cos x - 7 = 0$[NEWLINE] $4\cos^2x + 16\cos x - 9 = 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Сделаем замену $t = \cos x$, $|t| \leq 1$:[NEWLINE] $4t^2 + 16t - 9 = 0$[NEWLINE] $D = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 256 + 144 = 400$[NEWLINE] $t = \frac{-16 \pm 20}{8}$[NEWLINE] $t_1 = \frac{-16 + 20}{8} = \frac{4}{8} = 0,5$[NEWLINE] $t_2 = \frac{-16 - 20}{8} = \frac{-36}{8} = -4,5 \notin [-1;1]$[NEWLINE] $\cos x = 0,5$[NEWLINE] $x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Все корни получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. \(x_1\) получается движением от \(4\pi\) назад на \(\frac{\pi}{3}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] $x_1=4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z$[NEWLINE] б) $\frac{11\pi}{3}$[NEWLINE]
    Задание 13
    а) Решите уравнение 2 \cos 2x - 16 \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) - 7 = 0.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ \frac{5\pi}{2}, 4\pi \right].
  • На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=3:1. Точка T — середина ребра B₁C₁. [NEWLINE] а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD₁ является трапецией. [NEWLINE] б) Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью A₁B₁C₁, если известно, что AB=2√2, AD=4, AA₁=12.
    [image:0:left] а) Построим сечение: [IMAGENEWLINE] 1) Соединим $D_1$ и $T$, а также $D_1$ и $E$[IMAGENEWLINE] 2) Так как плоскость проходит через параллельные грани $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$, то $KT||D_1E$ и соединяем $E$ и $K$, откуда следует, что $EKTD_1$ — искомая плоскость — является трапецией по определению, чтд [image:1:left]б) Построим угол между плоскостями:[IMAGENEWLINE] Проведем $EH\perp D_1T$ и $A_1H\perp D_1T\rightarrow$ $\angle EHA_1$ — искомый угол.[IMAGENEWLINE] Так как $AA_1\perp (A_1B_1C_1D_1)$ по свойствам данной нам фигуры. Значит $\triangle EHA_1$ — прямоугольный. Следовательно, мы можем найти данный угол, используя тригонометрические соотношения. Например, $tg\alpha=\frac{EA_1}{A_1H}.$ Тогда найдем эти катеты:[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Пусть $AE=x, EA_1=3x \rightarrow$[IMAGENEWLINE] $AA_1=x+3x=4x=12 \rightarrow$ [IMAGENEWLINE] $x=3 \rightarrow EA_1=9$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:2:left]Чтобы найти $A_1H$ нам необходимо рассмотреть нижнее основание. Здесь необходимо дополнительное построение. Продолжим $DT$ до пересечения с прямой $A_1B_1$ в точку $F$ (см. рис.).[IMAGENEWLINE] Заметим, что $A_1H$ — высота получившегося прямоугольного $\triangle FA_1D_1,$ проведённая из прямого угла. А значит:[IMAGENEWLINE] $A_1H=\frac{A_1D_1\cdot A_1F}{FD_1},$ где неизвестна $FD_1$ — гипотенуза.[IMAGENEWLINE] Заметим, что $B_1T $ — средняя линия по свойству (равна половине основания). Тогда $FA_1=4\sqrt2$.[IMAGENEWLINE] $FD_1=\sqrt{(4\sqrt2)^2+4^2}=$$\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=3\sqrt{3}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $A_1H=\frac{4\cdot4\sqrt2}{3\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt6}{9}$[IMAGENEWLINE] $tg\angle EHA_1=\frac{9}{\frac{16\sqrt6}{9}}=$$\frac{9\cdot9}{16\sqrt{6}}=\frac{81\sqrt6}{16\cdot6}=$$\frac{27\sqrt6}{32}$[IMAGENEWLINE] $\angle EHA_1=arctg\frac{27\sqrt6}{32}$[IMAGENEWLINE]
    Задание 14
    На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=3:1. Точка T — середина ребра B₁C₁.
    а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD₁ является трапецией.
    б) Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью A₁B₁C₁, если известно, что AB=2√2, AD=4, AA₁=12.
  • Решите неравенство $x-7-\frac{8x-74}{x^2-16x+63} \leq \frac{1}{x-9}.$
    Разложим на множители один из знаменателей:[NEWLINE] $x^2-16x+63=(x-9)(x-7)$[NEWLINE] Приведем все к общему знаменателю:[NEWLINE] $\frac{(x-7)(x-9)(x-7)-(8x-74)-(x-7)}{(x-7)(x-9)} \leq 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим числитель:[NEWLINE] $(x^2-14x+49)(x-9)-8x+74-x+7$[NEWLINE] $(x^2-14x+49)(x-9)-9x+81$[NEWLINE] $(x^2-14x+49)(x-9)-9(x-9)$[NEWLINE] $(x-9)(x^2-14x+49-9)$[NEWLINE] $(x-9)(x^2-14x+40)$[NEWLINE] $(x-9)(x-4)(x-10)$[NEWLINE] Получается следующая дробь: $\frac{(x-9)(x-4)(x-10)}{(x-7)(x-9)} \leq 0$[NEWLINE] Приравняем к нулю и найдем нули функции:[NEWLINE] \(\begin{cases} \left[\begin{aligned} & x=9 \\& x=4 \\ &x=10\\\end{aligned}\right. \\ x \neq 7 \\ x \neq 9 \end{cases}\)[NEWLINE] [image:0:left]Заметим, что $(x-9)$ сократится и не будет влиять на промежутки знакопостоянства. И все же, мы обязаны будем исключить эту точку в силу того, что она находится в знаменателе. Поэтому покажем на числовой прямой так, будто это корень четной кратности (при переходе через эту точку, знак не поменяется.[IMAGENEWLINE] Определяя знаки методом интервалов, получаем:[IMAGENEWLINE] $x \in (-\infty;4] \cup (7;9) \cup (9;10] $
    Задание 15
    Решите неравенство x-7-\frac{8x-74}{x^2-16x+63} \leq \frac{1}{x-9}.
  • По вкладу "А" банк в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу "Б" — увеличивает эту сумму на 12% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А".
    Разберем отдельно каждый вклад и обозначим за $x\%$ — натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б". [TWO-COLUMNS]1) Вклад "А"[NEWLINE]$S$ — сумма вклада[NEWLINE]$r_A=10 \% , k=1,1$[NEWLINE]Тогда вклад через 3 года будет $Sk^3$[COLUMN-BREAK]2) Вклад "Б"[NEWLINE]$S$ — сумма вклада[NEWLINE]$r_\text{Б, 2 года}=12 \% ; n=1,12 $[NEWLINE]$r_\text{Б, 3-й год}=x \% $[NEWLINE]Вклад через 3 года будет $Sn^2(1+x \%).$[/TWO-COLUMNS] Теперь внимательно посмотрим на вопрос и составим по нему неравенство: [BOLD]Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А"[/BOLD][NEWLINE] Буквально спрашивают, когда $Sk^3$ будет больше, чем $Sn^2(1+x \%).$ Так и запишем, подставим и решим неравенство:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $Sk^3 \gt Sn^2(1+x \% )|:S$[NEWLINE] $k^3 \gt n^2(1+x \% )$[NEWLINE] $1,1^3 \gt 1,12^2(1+x \% )|:1,12^2$[NEWLINE] $\frac{1,331}{1,2544} \gt 1+x \%$[NEWLINE] $\frac{1,331}{1,2544}-1 \gt x \%$[NEWLINE] $\frac{0,0766}{1,2544} \gt x \%$[NEWLINE] $\frac{766}{12544} \gt x \%$[NEWLINE] $x \% \lt 0,061...|\cdot 100$[NEWLINE] $x \lt 6,1...$[NEWLINE] Ближайшим целым числом, которое попадает под заданный интервал, будет $x=6.$ Это и будет ответом[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 6
    Задание 16
    По вкладу "А" банк в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу "Б" — увеличивает эту сумму на 12% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А".
  • Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение [NEWLINE] $\sqrt{9x^4+2x^2(11x+4)-a(4x^2-a)}=3x^2+4x-a$ [NEWLINE] имеет ровно три различных корня.
    $\sqrt{f(x)}=g(x) $$\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^2(x) \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$[NEWLINE] \((a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc.\)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \(\begin{cases} 9x^4+2x^2(11x+4)-a(4x^2-a)=(3x^2+4x-a)^2 \\ 3x^2+4x-a \geq 0 \end{cases}\) [TWO-COLUMNS]$9x^4+2x^2(11x+4)-a(4x^2-a)=(3x^2+4x-a)^2 $[NEWLINE]$9x^4+22x^3+8x^2-4ax^2+a^2=9x^4+16x^2+a^2+24x^3-6ax^2-8ax$[NEWLINE]$22x^3+8x^2-4ax^2=16x^2+24x^3-6ax^2-8ax$[NEWLINE]$2x^3+8x^2-2ax^2-8ax=0|:2$[NEWLINE]$x^3+4x^2-ax^2-4ax=0$[NEWLINE]$x(x^2+4x-ax-4a)=0$[NEWLINE]$x(x(x+4)-a(x+4))=0$[NEWLINE]$x(x-a)(x+4)=0$[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} & x=0 \\& x=a \\& x=-4 \\\end{aligned}\right.\)[COLUMN-BREAK]$ 3x^2+4x-a \geq 0$[NEWLINE]$a \leq 3x^2+4x$[NEWLINE]Это означает, что если функция будет зависеть от $a,$ то она будет там определяться, где выполняется данное условие. Например, в данной задаче это ограничение касается уравнения $x=a.$ То есть функция вида $a=x$ будет определена как бы "ниже" параболы $a=3x^2+4x.$ А при значениях $x$ таких, что парабола будет ниже, функция прямой будет неопределена.[/TWO-COLUMNS] \(\)[NEWLINE] [image:0:left]Построим систему координат $xOa$ и нанесем все заданные функции. [IMAGENEWLINE] $I.$ Перемещаем прямую $y=a$ и видим, что при $a \in (-\infty;-4)$ происходит пересечение с тремя прямыми. [BOLD]Значит 3 корня[/BOLD][IMAGENEWLINE] $II.$ При $a=-4$ две функции $x=a$ и $x=-4$ пересекаются, поэтому тут два решения.[IMAGENEWLINE] $III.$ При $a \in (-4;-1]$ будет 3 пересечения. Прямая $x=a$ пересекается с параболой и "съедается" при "попадании внутрь". Функция $y=a$ при "попадании внутрь" параболы — пропадает из-за ограничений $a \leq 3x^2+4x.$ [BOLD]В итоге 3 корня[/BOLD][IMAGENEWLINE] Далее 3 решений быть не может, так как прямая $x=0$ заканчивается из-за ограничений.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(-\infty;-4) \cup (-4;-1]$
    Задание 18
    Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
    \sqrt{9x^4+2x^2(11x+4)-a(4x^2-a)}=3x^2+4x-a
    имеет ровно три различных корня.