Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 96. Найдите длину её средней линии.
СтатГрад №2510212 2025
Если вариант неполный, значит в скором времени я подгружу оставшуюся часть
-
Задание 1[image:0:right]Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 96. Найдите длину её средней линии.[image:1:left]Обозначим трапецию как $ABCD,$ а среднюю линия — $MN.$[IMAGENEWLINE] $MN=\frac{BC+AD}{2}.$[IMAGENEWLINE] Так как четырёхугольник вписан в окружность, то [IMAGENEWLINE] $AB+CD=BC+AD\rightarrow$[IMAGENEWLINE] $P=AB+CD+BC+AD=2(AB+CD)$[IMAGENEWLINE] $96=2(AB+CD)|:4$[IMAGENEWLINE] $\frac{BC+AD}{2}=24=MN.$
-
Задание 2[image:0:right]На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}.$ Найдите значение выражения $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}.$[image:1:left]Найдем координаты векторов (см. рис):[IMAGENEWLINE] $\vec{a}(3;-3),$ $\vec{b}(2;5),$ $\vec{c}(2;-4)$ [IMAGENEWLINE] $\vec{a}+\vec{b}=\vec{d}(5;2)$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a}(x_a, y_a) \) и \( \vec{b}(x_b, y_b) \) вычисляется по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b .\)[IMAGENEWLINE] $\vec{d}\cdot\vec{c}=5\cdot2+2\cdot(-4)=10-8=2.$
На координатной плоскости изображены векторы и Найдите значение выражения -
Задание 3[image:0:right]Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 92. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.Боковая поверхность данной призмы состоит из параллелограммов, которые делятся ровно пополам плоскостью. Так же уменьшается ровно в 2 раза грань, через которую не проходит плоскость, потому что это все еще плоскость, проходящая через среднюю линию оснований.[NEWLINE] Поэтому площадь уменьшится ровно в 2 раза:[NEWLINE] \(\frac{92}{2}=46.\)
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 92. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. -
Задание 4Рассмотрим два случайных паспорта. Какова вероятность того, что последняя цифра в номере первого паспорта отличается от последней цифры в номере второго паспорта?Всего комбинаций из двух цифр: $10^2=100.$[NEWLINE] Всего комбинаций, не удовлетворяющих условию $10 (00, 11, ... , 99).$[NEWLINE] Значит, всего комбинаций, удовлетворяющих условию $100-10=90.$[NEWLINE] Тогда искомая вероятность равна[NEWLINE] $P=\frac{90}{100}=0,9.$Рассмотрим два случайных паспорта. Какова вероятность того, что последняя цифра в номере первого паспорта отличается от последней цифры в номере второго паспорта?
-
Задание 5Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Протор» по очереди играет с командами «Стартер», «Ротор» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Протор» не будет начинать ни одной игры.Для каждой игры команда «Мотор» может либо начинать с мячом, либо нет. Вероятность каждого исхода равна 0,5. [NEWLINE] То есть нам нужны, чтобы было так: БЕЗ МЯЧА, БЕЗ МЯЧА, БЕЗ МЯЧА. Это несовместные события, поэтому вероятность такого события равна произведению этих вероятностей: \( P=0,5^3 = 0,125.\)Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Протор» по очереди играет с командами «Стартер», «Ротор» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Протор» не будет начинать ни одной игры.
-
Задание 6Найдите корень уравнения $\log_8(x+5)=\log_8(2x-2).$$\log_8(x+5)=\log_8(2x-2).$[NEWLINE] $x+5=2x-2$[NEWLINE] $2x-x=5+2$[NEWLINE] $x=7.$[NEWLINE] Не забываем про ограничения. Здесь единственный корень и он подходит, понятное дело, но всякое может быть.Найдите корень уравнения
-
Задание 7Найдите значение выражения $5x\cdot(8x^5)^2:(8x^{10})$ при $x=5.$$5x\cdot(8x^5)^2:(8x^{10})=$$\frac{5x\cdot8^2x^{10}}{8x^{10}}=$$40x$[NEWLINE] При $x=5: \quad 40\cdot5=200.$Найдите значение выражения при
-
Задание 8На рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(-10;12).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[-4;10].$ [image:0]Обратим внимание, что изображен график производной функции. Вспомним, что если производная меняет свои значения с положительных на отрицательные — это точка максимума. Наоборот — точка минимума.[NEWLINE] [image:1:block] Таких точек минимума всего 3 (см. рис.), но попадает в указанный промежуток только две. Дополнительно отметил точки максимума для общей картины.На рисунке изображён график функции — производной функции определённой на интервале Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку
-
Задание 9В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \frac{g}{2}k^2t^2 \), где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 5 м — начальная высота столба воды, \( k = \frac{1}{900} \) — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте, что \(g = 10 \text{м/с^2}\)). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?Бак имеет цилиндрическую форму, поэтому объём воды пропорционален высоте столба: $V(t) = S \cdot H(t)$, где $S$ — площадь основания. Следовательно, если объём уменьшился до $\frac{1}{4}$ от начального, то и высота уменьшилась до $\frac{1}{4} H_0$:[NEWLINE] \[ H(t) = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4} \text{ м}. \][NEWLINE] Подставляем остальное:[NEWLINE] $\frac{5}{4}=5-\sqrt{2\cdot10\cdot5}\cdot\frac{1}{900}t+\frac{10}{2}\cdot(\frac{1}{900})^2t^2$[NEWLINE] $\frac{5}{4}=5-\frac{1}{90}t+\frac{5}{900^2}t^2$[NEWLINE] $\frac{5}{900^2}t^2-\frac{1}{90}t+\frac{15}{4}=0$[NEWLINE] $\frac{1}{900\cdot180}t^2-\frac{1}{90}t+\frac{15}{4}=0|\cdot900\cdot 180$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $t^2-1800t+15\cdot900\cdot45=0$[NEWLINE] $D=1800^2-4\cdot15\cdot900\cdot45=$$1800^2-3\cdot900^2=$$900^2(4-3)=900^2$[NEWLINE] $x_1=\frac{1800+900}{2}=1350.$[NEWLINE] $x_2=\frac{1800-900}{2}=450.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Очевидно, что бОльший корень посторонний, так как в баке не может два раза быть достигнута четверть высоты. Если один раз достигло, значит второй раз — физически нереально.В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 5 м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а — ускорение свободного падения (считайте, что ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
-
Задание 10Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 58 часов после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{} & \textbf{\( v \) (км/ч)} & \textbf{S (км)} & \textbf{t (ч)} \\ \hline \text{Туда} & 18 & S & \frac{S}{18} \\ \hline \text{Обратно} & 12 & S & \frac{S}{12} \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Из условия известно, что общее время движения теплохода (с учетом стоянки) составляет 55 часов. Составим уравнение: [NEWLINE] \[ \frac{S}{18} + \frac{S}{12} + 3 = 58 \] [NEWLINE] \[ \frac{2S}{36} + \frac{3S}{36} = 55 \] [NEWLINE] \[ \frac{5S}{36} = 55 |\cdot\frac{36}{5} \] [NEWLINE] \[ S = 11\cdot36 \] [NEWLINE] \[ S=396 \] [NEWLINE] \( 2S=792 \) км (так как нам нужен общий путь)Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 58 часов после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?
-
Задание 11[image:0:right]На рисунке изображены графики функций $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b,$ которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.Восстановим коэффициенты $g(x):$[NEWLINE] 1) Если уже знаете, как находить производные, то $a=-4$[NEWLINE] 2) Если не знаете, то составляем систему, взяв две точки $(1;3)$ и $(2;-1):$[NEWLINE] \(\begin{cases} 3=a+b \\ -1=2a+b \end{cases} \rightarrow\) (вычитаем из верхнего нижнее) $3-(-1)=a-2a \rightarrow$ $a=-4$[NEWLINE] Тогда $b=3-(-4)=7.$[NEWLINE] Итого, $g(x)=-4x+7.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Восстановим коэффициенты $f(x):$[NEWLINE] Возьмём точку $(2;-1):$[NEWLINE] $-1=\frac{k}{2}\rightarrow k=-2$[NEWLINE] Итого, $f(x)=-\frac{2}{x}.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Ищем точки пересечения:[NEWLINE] $-\frac{2}{x}=-4x+7|\cdot x\neq0$[NEWLINE] $4x^2-7x-2=0$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & x_1=-0,25\\& x_2=2 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Одна из них — $A,$ другая — $B.$
На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. -
Задание 12Найдите наибольшее значение функции $y=3x^5-20x^3-19$ на отрезке $[-4;0]$Наибольших значений функция достигает в точках максимума.[NEWLINE] $y'=15x^4-60x^2$[NEWLINE] Найдем нули производной:[NEWLINE] $15x^4-60x^2=0$[NEWLINE] $15x^2(x^2-4)=0$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & x_1=0 \text{(2 кр.)} \\& x_2=2 \\& x_3=-2 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Нанесем на числовую прямую и найдем знаки производной. Обращаю внимание на чётную кратность $x=0.$[NEWLINE] [image:0:left]$x=-2$ — точка максимума, входит в указанный промежуток. Найдем значения функции в этой точке. Это и будет наибольшим значением[IMAGENEWLINE] $f(-2)=3\cdot(-2)^5-20\cdot(-2)^3-19=45$Найдите наибольшее значение функции на отрезке
-
Задание 13а) Решите уравнение $\sin(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2})-\sin(3\pi+x)=0.$[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-10\pi;-7\pi].$$\sin(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2})=-\cos\frac{x}{2};$ $\sin(3\pi+x)=-\sin x$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $\sin(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2})-\sin(3\pi+x)=0.$[NEWLINE] $-\cos\frac{x}{2}+\sin x=0.$[NEWLINE] Заметим, что $\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$[NEWLINE] $2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0$[NEWLINE] $\cos\frac{x}{2}(2\sin\frac{x}{2}-1)=0$[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]$\cos\frac{x}{2}=0$[NEWLINE]$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$[NEWLINE]$x=\pi+2\pi n$[COLUMN-BREAK]$2\sin\frac{x}{2}-1=0$[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} & \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi k \\& \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi m \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} & x=\frac{\pi}{3}+4\pi k \\& x=\frac{5\pi}{3}+4\pi m \\\end{aligned}\right.\)[/TWO-COLUMNS] б) Не совсем ЕГЭшного уровня (на момент 2025-2026 года) промежуток, да и сами корни и потому отбирать с помощью тригонометрической окружности — не самый лучший выбор, на мой взгляд. Давайте просто прибавлять периоды и смотреть, подходит или нет:[NEWLINE] $I.$ Возьмём $x=\pi+2\pi n:$ [NEWLINE] 1) $ n=-4\rightarrow x=-7\pi$ — подходит[NEWLINE] 2) $n=-5\rightarrow x=-9\pi$ — подходит (дальше явно выходит за заданный промежуток)[NEWLINE] $II.$ Возьмём $x=\frac{\pi}{3}+4\pi k:$[NEWLINE] 1) $k=-2 \rightarrow x=\frac{\pi}{3}-8\pi=-7\pi-\frac{2\pi}{3}$ — подходит (дальше явно выходит за заданный промежуток)[NEWLINE] $III.$ Возьмём $x=\frac{5\pi}{3}+4\pi m:$[NEWLINE] 1) $m=-2 \rightarrow x=\frac{5\pi}{3}-8\pi=-6\pi-\frac{\pi}{3}$ — уже не подходит, а через еще одну $4\pi$ выйдет за пределы заданного отрезка.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\pi+2\pi n;$ $x=\frac{\pi}{3}+4\pi k;$ $x=\frac{5\pi}{3}+4\pi m, \quad n, k, m \in Z$[NEWLINE] б) $x=-7\pi; -9\pi; -\frac{23\pi}{3}.$а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -
Задание 14В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что 2A₁M = 3MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.[NEWLINE] а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.[NEWLINE] б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 40.[NEWLINE][image:0:left]а) Заметим, что данная треугольная призма [BOLD]правильная[/BOLD]. Это значит, что $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний. Единственный перпендикуляр, который может проводиться в точку $K$ — высота $C_1K.$ [IMAGENEWLINE] Также вспомним, что основания и боковые грани перпендикулярны, откуда следует, что $C_1K \perp AA_1.$ [IMAGENEWLINE] То есть мы имеем $C_1K \perp A_1B_1$ и $C_1K \perp AA_1.$ Из этого следует, что $C_1K$ будет перпендикулярно плоскости, что прописано в условии. Следовательно, $C_1 \in C_1KM,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] б) Заметим, что $C_1K \perp KM,$ потому что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Значит $\triangle C_1KM$ — прямоугольный, а значит его площадь будет вычисляться по формуле $S=\frac{1}{2}C_1K\cdot KM.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, нам необходимо найти его катеты. Знаем, что все ребра по $40$, а также $A_1K=KB_1$ и $2A_1M=3MA.$ Из этого будет следовать, что[IMAGENEWLINE] $A_1K=KB_1=20,$ $A_1M=24,$ $AM=16.$ Тогда:[IMAGENEWLINE] 1) $C_1K=\sqrt{40^2-20^2}=\sqrt{(40-20)(40+20)}=$$\sqrt{20\cdot60}=20\sqrt{3}.$[IMAGENEWLINE] 2) $KM=\sqrt{20^2+24^2}=\sqrt{4^2(5^2+6^2)}=4\sqrt{61}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $S=\frac{1}{2}\cdot 20\sqrt{3}\cdot4\sqrt{61}=40\sqrt{183}.$В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что 2A₁M = 3MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.
а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 40. -
Задание 15Решите неравенство $\log_6(5^{\log_5(5-x)}+31^{\log_{31}(x+31)})+3 \geq \log_2((x^2-4x)$$\log_6(5^{\log_5(5-x)}+31^{\log_{31}(x+31)})+3 \geq \log_2((x^2-4x)$[NEWLINE] Рассмотрим ограничения:[NEWLINE] \(\begin{cases} 5^{\log_5(5-x)}+31^{\log_{31}(x+31)} \gt 0 \\ 5-x \gt 0 \\ x+31 \gt 0 \\ x^2-4x \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} 5-x+x+31 \gt 0 \\ x \lt 5 \\ x \gt -31 \\ x(x-4) \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} 36 \gt 0 \rightarrow x\in R\\ x \lt 5 \\ x \gt -31 \\ x(x-4) \gt 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} -31 \lt x \lt 5 \\ \left[\begin{aligned} & x \lt 0 \\& x \gt 4 \\\end{aligned}\right. \end{cases}\)[NEWLINE] Нанесем на числовую прямую и пересечём решения:[NEWLINE] [image:2:right] $x \in (-31;0) \cup (4;5)$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $\log_6(5^{\log_5(5-x)}+31^{\log_{31}(x+31)})+3 \geq \log_2((x^2-4x)$[IMAGENEWLINE] $\log_6(5-x+x+31)+3\geq\log_2(x^2-4x)$[IMAGENEWLINE] $\log_{6}36+2\geq\log_2(x^2-4x)$[IMAGENEWLINE] $5 \geq \log_2(x^2-4x)$[IMAGENEWLINE] $2 \gt 0 \rightarrow$ функция возрастает[IMAGENEWLINE] $32 \geq x^2-4x$[IMAGENEWLINE] $x^2-4x - 32 \leq 0$[IMAGENEWLINE] Это квадратичная функция, график парабола, нули в точках $x=-4$ и $x=8.$ Нанесём на числовую прямую и пересечём с ограничениями:[IMAGENEWLINE] [image:3:right] Обращаю ваше внимание на то, что $x=8$ не входит в ограничения, а значит и не войдет в итоговый ответ.[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $x\in[-4;0) \cup (4;5)$Решите неравенство
-
Задание 1615 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 19,8 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 7 % по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] - к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен. [NEWLINE] Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?Обозначим: [NEWLINE] $S = 19{,}8$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $r = 7\% = 0{,}07$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\frac{S}{36}$ — фиксированная часть долга, которая гасится каждый месяц.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S + Sr & Sr + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{35}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} + S \cdot \dfrac{35}{36}r & S \cdot \dfrac{35}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{34}{36} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 25 & S \cdot \dfrac{12}{36} & S \cdot \dfrac{12}{36} + S \cdot \dfrac{12}{36}r & S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{11}{36} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 36 & \dfrac{S}{36} & \dfrac{S}{36} + \dfrac{S}{36}r & \dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Заметим, что выплаты образуют арифметическую прогрессию. Так как необходимо найти сумму выплат за 2029 год (25–36 месяцы), то составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{\left(S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36}\right) + \left(\dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36}\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{(12r + 1) + (r + 1)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{13r + 2}{2} \cdot 12 = \frac{S}{36} \cdot 6 \cdot (13r + 2) \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{S}{6} \cdot (13r + 2) \][NEWLINE] Подставим $S = 19{,}8$, $r = 0{,}07 = \dfrac{7}{100}$:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{19{,}8}{6} \cdot \left(13 \cdot \frac{7}{100} + 2\right) = \frac{19{,}8}{6} \cdot \left(\frac{91}{100} + \frac{200}{100}\right) \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{19{,}8}{6} \cdot \frac{291}{100} = \frac{19{,}8 \cdot 291}{600} \][NEWLINE] \[ S_n = \frac{5761{,}8}{600} = 9{,}603 \text{ млн} \][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 9,60315 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 19,8 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 7 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году? -
Задание 17В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.[NEWLINE] а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.[NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $8\sqrt{6}$, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle ABC = 105^\circ$.[NEWLINE][image:0:left]а) $BN$ — диаметр (по условию), $\angle BKN$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $BN \rightarrow \angle BKN=90^\circ$[IMAGENEWLINE] Так как $\angle BHA =90^\circ,$ так как $BH$ — высота и два упомянутых угла — соответственные углы при пересечении двух прямых $AC$ и $KN$ третьей прямой $BK,$ то из этого следует, что $AC||KN,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:left]б) $R=8\sqrt{6}, \angle BAC=30^\circ, \angle ABC=105^\circ.$[IMAGENEWLINE] Из теоремы о сумме углов треугольников:[IMAGENEWLINE] $\angle ACB=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ.$[IMAGENEWLINE] Проведем доп. построение $AN$ и заметим, что $\angle BNA=\angle BCA=45^\circ$ как вписанные углы, опирающиеся на одну окружность.[IMAGENEWLINE] Также заметим, что $\angle CAN=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$ так как $\angle BAN$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр.[IMAGENEWLINE] Тогда в $\triangle AMN:$ $\angle MNA=30^\circ,$ $\cos30^\circ=\frac{MN}{AN}\rightarrow MN=AN\cos30^\circ.$ Значит нашей задачей теперь является найти $AN.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Вспомним о $BAN:$ у него оба угла по $45^\circ.$ Из этого следует его равнобедренность. Значит $AB=AN.$[IMAGENEWLINE] Теперь рассмотрим теорему синусов для вписанного треугольника $\triangle ABC:$[IMAGENEWLINE] $\frac{AB}{\sin45^\circ}=2R \rightarrow AB=2R\sin45^\circ$[IMAGENEWLINE] $AB=2\cdot8\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{12}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $MN=8\sqrt{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{36}=24.$В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен , , . -
Задание 18Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение [NEWLINE]$a(x+\frac{9}{x})^2+3(x+\frac{9}{x})-49a+21=0$ [NEWLINE]имеет ровно два различных корня.\( a\left(x+\frac{9}{x}\right)^2+3\left(x+\frac{9}{x}\right)-49a+21=0 \) [NEWLINE] Введём замену \( y = x + \dfrac{9}{x} \) и проанализируем её: [NEWLINE] \( xy = x^2 + 9 \rightarrow x^2 - xy + 9 = 0 \) [NEWLINE] То есть относительно \( x \) заменённое уравнение — квадратичное. Значит оно имеет два корня при \( D > 0 \) и один корень при \( D = 0. \) [NEWLINE] \( D = y^2 - 36 \) [NEWLINE] \( D > 0 \rightarrow y \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) [NEWLINE] \( D = 0 \rightarrow y = \pm 6 \)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим теперь \( ay^2 + 3y - 49a + 21 = 0 \) [NEWLINE] Данное уравнение может быть [BOLD]линейным[/BOLD] (при \( a = 0 \)) и [BOLD]квадратным[/BOLD] (при \( a \neq 0 \)).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \( I. \) [BOLD]Рассмотрим первую ситуацию:[/BOLD] [NEWLINE] \( 3y + 21 = 0 \rightarrow y = -7 \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) [NEWLINE] Значит при \( a = 0 \) искомое уравнение имеет ровно 2 различных корня.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \( II. \) [BOLD]Вторая ситуация:[/BOLD] [NEWLINE] Найдём дискриминант \( ay^2 + 3y - 49a + 21 = 0 \): [NEWLINE] \( D = 9 - 4 \cdot a \cdot (-49a + 21) = 196a^2 - 84a + 9 = (14a - 3)^2 \)[NEWLINE] 1) Если \( D = 0 \), то \( y = \dfrac{-b}{2a}. \) [NEWLINE] Найдём \( a \) из дискриминанта, равного нулю: [NEWLINE] \( (14a - 3)^2 = 0 \rightarrow a = \dfrac{3}{14} \) [NEWLINE] Тогда \( y = \dfrac{-3}{2 \cdot \dfrac{3}{14}} = -7 \) (уже знаем, что подходит)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Если \( D > 0. \) Казалось бы, нам такое не подходит, ведь если так будет, то каждый из \( y \) даст по два корня и в результате их будет 4, но ведь мы можем сказать, что действительно корня будет два, вот только один [BOLD]не будет попадать в свои же ограничения![/BOLD] [NEWLINE] Тогда [NEWLINE] \( y_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{(14a - 3)^2}}{2a} \) [NEWLINE] \( y_1 = \dfrac{-3 + 14a - 3}{2a} = \dfrac{14a - 6}{2a} = \dfrac{7a - 3}{a} \) [NEWLINE] \( y_2 = \dfrac{-3 - 14a + 3}{2a} = \dfrac{-14a}{2a} = -7 \)[NEWLINE] Теперь мы видим, что \( y_2 = -7 \) уже попадает и является решением. [NEWLINE] Значит нам нужно найти такие значения \( a \), при которых \( y_1 \) не входит в \( (-\infty; -6) \cup (6; +\infty). \) [NEWLINE] Составим систему: [NEWLINE] \(\begin{cases} \dfrac{7a - 3}{a} \gt -6 \\ \dfrac{7a - 3}{a} \lt 6 \end{cases}\) \(\begin{cases} \dfrac{13a - 3}{a} \gt 0 \\ \dfrac{a - 3}{a} \lt 0 \end{cases}\)[NEWLINE] Решим первое неравенство: [NEWLINE] \( \dfrac{13a - 3}{a} \gt 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0) \cup \left( \dfrac{3}{13}; +\infty \right) \)[NEWLINE] Решим второе неравенство: [NEWLINE] \( \dfrac{a - 3}{a} \lt 0 \Rightarrow a \in (0; 3) \)[NEWLINE] Пересечение: [NEWLINE] \( a \in \left( \dfrac{3}{13}; 3 \right) \)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Объединяя с предыдущими случаями, получаем ответ: [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] \( a \in \left( \dfrac{3}{13}; 3 \right) \cup \left\{ 0; \dfrac{3}{14} \right\} \)Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
